tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post1882706682518735173..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: N4 lista cortaDavid (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger10125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-45475978717018642802016-08-18T23:52:46.486-05:002016-08-18T23:52:46.486-05:00Teorema de zsigmondyTeorema de zsigmondyAnonymoushttps://www.blogger.com/profile/11670660506030292534noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-49598766740936941542010-06-06T23:36:11.074-05:002010-06-06T23:36:11.074-05:00Por fin tengo una solución para este problema!!! L...Por fin tengo una solución para este problema!!! La puse en un nuevo post por si a alguien le interesa verla...Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/05794432469421501329noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-75004239876814559642010-06-04T22:15:48.114-05:002010-06-04T22:15:48.114-05:00Yo tengo eso de que m es impar y que si p primo di...Yo tengo eso de que m es impar y que si p primo divide a (a^{m}+1)/(a+1) entonces p divide a m. En resumen sólo tengo eso de lo que creo que pueda servir, no se me ha ocurrido nada nuevo...Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/05794432469421501329noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-86420197734472965052010-06-04T22:01:13.426-05:002010-06-04T22:01:13.426-05:00solucion(a medias):
si p primo divide a a^m +1, a ...solucion(a medias):<br />si p primo divide a a^m +1, a congruentecon a^m congruentecon -1(mod p) por lo tanto m es impar.<br />si q primo divide a m, a^q +1 divide a a^m +1 que divide a (a+1)^n por lo tanto X= (a^q +1)/(a+1) divide a (a+1)^(n-1). supongamos que un r primo distinto a q divide a X entonces a congruentecon -1 (mod r), y entonces 0 congruentecon X congruentecon q (mod r) lo que es una contradicción<br />por lo tanto X es una potencia de p<br /><br />y ya encontre un error, asi q hasta aqui he llegado. Voy a checarlo a ver si encuentro como acabarDANIELIMOhttps://www.blogger.com/profile/02024822566397214634noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-44741051834794490522010-06-04T17:37:39.956-05:002010-06-04T17:37:39.956-05:00Pues segun yo ya me salio y la unica solucion no t...Pues segun yo ya me salio y la unica solucion no trivial es m=3,a=2,n>=2, pero no estoy muy seguro de que todo este bien, no se si conclui bien o me falto ver algo:<br />como ya varios vieron<br />se tiene m impar o a=1 suponemos que a>1.<br />Luego si d|m entonces a^d+1|a^m+1, ya que podemos factorizar suma de potencias impares<br />(a la m/d).<br />ahora veamos que no hay solucion con m un primo impar, entonces, no habra solucion para<br />cualquier m impar mayor a 1 por que tendra un divisor primo p, entonces<br />a^p+1 | a^m+1 entonces a^p+1|(a+1)^n, entonces no puede haber solucion ya que para primos<br />impares no habra.<br />sea m primo impar entonces, ahora le llamare p.<br />Supongamos que existe a tal que<br />a^p+1 | (a+1)^n para nuestro p<br />pero a^p+1 = (a+1)*(a^(p-1)-a^(p-2)+...+1), entonces<br />(a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) | (a+1)^(n-1)<br />pero supongamos que un primo q divide a (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1), entonces, q divide<br />a a+1, entonces a=-1 mod q, luego (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) = p mod q. Entonces q divide a<br />(a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) y entonces q divide a p. Entonces p=q, ya que q y p son primos.<br />entonces (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1)= p^r para algun entero r, ya que todos los primos que <br />dividen a q deben ser iguales a p.<br />Luego como p^r|a+1 entonces<br />a=pk-1, para algun entero k,<br />entonces (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) = (a^p+1)/(a+1)= ((pk-1)^p+1)/(pk) entonces<br />(a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) = ((pk)^p+(pC1)*(pk)^(p-1)*(-1)+...+(pC(p-2))*(pk)^2*(-1)^(p-2)+(pC(p-1))*pk*(-1)^(p-1)+(-1)^p+1)/pk<br />pero todos los terminos son multiplos de p^3*k^2, excepto por los ultimos tres terminos.Pero los ultimos dos son 1 y -1 y se cancelan<br />entonces al dividir entre pk queda un multiplo de p^2 mas (pC(p-1))*pk*(-1)^(p-1)/pk = p*(-1)^(p-1) entonces<br />p^2 no divide a (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) entonces como (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1)=p^r para algun entero r,<br />entonces (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) = p, entonces (a^p+1)/(a+1)=p<br />entonces<br />(a^p+1)/(a+1)-1=p-1 entonces (a^p+1-(a+1))/(a+1)=p-1, entonces (a^p-a)/(a+1)=p-1<br />pero p | a^p-a por teorema de fermat, pero p|p-1, entonces p|a+1 , ademas entonces<br />(a^p-a)/(a+1)=p-1=a*(a^(p-1)-1)/(a+1)pero como a+1 y a son primos relativos, entonces<br />a+1 | a^p-1, luego (a^(p-1)-1)/(a+1) es un entero, entonces a|p-1 , y ademas teniamos que p|a+1<br />entonces como son positivos todos, entonces a<=p-1, y p<=a+1 entonces p-1<=a, entonces p-1=a<br />entonces veamos para que primos p se cumple que<br />(p-1)^p+1|p^n y ademas tenemos que ((p-1)^p+1)/(p)=p, entonces (p-1)^p+1=p^2<br /><=> (p-1)^p=p^2-1=(p-1)*(p+1)<br /><=> (p-1)^(p-1)=p+1 => p-1|p+1 pero p-1|p-1 entonces p-1|p+1-(p-1)=2<br />entonces p-1=2 o 1 pero teniamos p impar, entonces p-1=2, entonces p=3. Entonces cualquier primo que divida a m<br />debe ser 3, bueno cuando m es impar<br />entonces m=3^r para r entero no negativo. Ademas demostre que a=p-1, entonces a=2<br />entonces hay que ver cuando <br />2^(3^r)+1|3^n, entonces queremos que 2^(3^r)+1=3^k para un entero no negativo k<br />pero si m>1, las unicas potencias a diferencia 1 son 8 y 9 por catalan.<br />entonces 2^(3^r)=8, entonces r=1, m=3, entonces m=3 o m=1.<br />pero si m=1, entonces queremos que<br />a+1|(a+1)^n, entonces todas las a y n son soluciones.<br />si m=3, ya vimos que entonces a=2,<br />y luego 2^3+1|3^n, entonces 9|3^n, entonces n>=2, a=2, m=3 es solucion, y por como se construyo, son las unicas soluciones.<br />a bueno y las de a=1.Flaviohttps://www.blogger.com/profile/05534283841386385435noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-70372880547445082562010-06-04T11:30:59.753-05:002010-06-04T11:30:59.753-05:00llegue a que m es imparllegue a que m es imparDANIELIMOhttps://www.blogger.com/profile/02024822566397214634noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-53057453505440390962010-06-03T23:00:31.624-05:002010-06-03T23:00:31.624-05:00Si, yo también ya tengo que m es impar. No he leíd...Si, yo también ya tengo que m es impar. No he leído tu solución de esto Georges, no la quiero leer porque no lo he terminado, pero por la extensión que lo que escribiste creo que hice algo más corto.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/05794432469421501329noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-86842719563693318512010-06-03T22:57:06.045-05:002010-06-03T22:57:06.045-05:00Es lo segundo FlavioEs lo segundo FlavioAnonymoushttps://www.blogger.com/profile/05794432469421501329noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-58794177114569012942010-06-03T20:40:37.146-05:002010-06-03T20:40:37.146-05:00Haber esto es lo que llevo, claramente si a=1 y n ...Haber esto es lo que llevo, claramente si a=1 y n y m son enteros positivos es solución, luego si m=1 y a y n son enteros positivos tambien es solución.Entonces supongamos que a y m son mayores que uno, entonces a^m+1>2.<br />Ahora supongamos que m es par.Como m es par entonces a+1 divide a (a^m)-1 (a^m congruente con (-1)^m congruente con 1). Por lo tanto si un entero d, divide a a+1 entonces divide a (a^m)-1, y si d tambien divide a (a^m)+1 entonces d divide a (a^m)+1-((a^m)-1)=2Por lo tanto mcd((a^m)+1,a+1)=1 o 2. Si es uno entonces ((a^m)+1,(a+1)^n)= 1 y entonces el primer número no divide al segundo por ser primos relativos.Si es dos entonces claramente (a^m)+1 tiene que ser una potencia de dos pero como ya sabemos que (a^m)+1>2 entonces (a^m)+1 es congruente con cero mod 4, pero un cuadrado (m es par) nunca puede ser congruente con 3 mod 4.Por lo tanto si a y n son mayores que uno entonces m tiene que ser impar. <br /><br />El caso que m es impar lo voy a subir en un rato (cuando me salga) jaja..Georgeshttps://www.blogger.com/profile/01952800395162229443noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-72126183052616042052010-06-03T19:40:03.837-05:002010-06-03T19:40:03.837-05:00es a^(m+1) o (a^m)+1?es a^(m+1) o (a^m)+1?Flaviohttps://www.blogger.com/profile/05534283841386385435noreply@blogger.com