tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post2144202059161138879..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problema del día 1 de junio de 2010David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger3125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-23527445814730655892010-06-02T12:42:51.907-05:002010-06-02T12:42:51.907-05:00Solución:
Sean T, T1, T2 las circunferencias que p...Solución:<br />Sean T, T1, T2 las circunferencias que pasan por ABCD, APC y BPD con centros O, O1 y O2 resp.<br /><br />Como AC y BD son ejes radicales(de T,T1 y T,T2 resp) y se intersectan en E entonces E es el centro radical de T,T1,T2.<br /><br />Por lo tanto la recta PE es el otro eje radical y por lo tanto es perpendicular a O1,O2 (este hecho es conocido)<br /><br />Es facil ver usando la hipotesis y persiguiendo unos pocos ángulos que Ang(AO1C)+Ang(AOC)=180 (realmente es facil, lo dejo como ejercicio al lector)<br />Por lo tanto AO1CO es cíclico y entonces Ang(O1AO)+Ang(O1CO)=180. Pero por criterio LLL los triángulos O1CO y O1AO son congruentes. Por lo tanto Ang(O1AO)=Ang(O1CO)=90 y entonces O1C y O1A son tangentes T y por lo tanto AC es la polar de O1 con respecto a T.<br /><br />Analogamente BD es la polar de O2 con respecto a T.<br /><br />Pero como la polar de O1 y O2 pasan por E entonces la polar de E es O1O2. Por lo tanto OE es perpendicular a O1O2, pero tambien habiamos probado que PE es perpendicular a O1O2 por lo tanto O,P,E son colineales.Georgeshttps://www.blogger.com/profile/01952800395162229443noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-81094516084029640072010-06-02T11:43:26.012-05:002010-06-02T11:43:26.012-05:00Orale! Está chida tu solución.Orale! Está chida tu solución.hvillanhttps://www.blogger.com/profile/00358953554956512450noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-84440289043396622182010-06-01T12:01:24.924-05:002010-06-01T12:01:24.924-05:00solución:
sea T la circunferencia circunscrita al ...solución:<br />sea T la circunferencia circunscrita al ABCD sean X,Y,Z,W los puntos de interseción de T con AP,BP,CP,DP respectivamente. Sea Q el punto de intersección de WA con BZ. Es facil ver por angulos que XZ y YW son diametros de T. vemos por Pascal en WDBZCA y BYWAXZ que P,E,Q y P,O,Q son respectivamente colineales, lo que implica que O,P,E son colineales.DANIELIMOhttps://www.blogger.com/profile/02024822566397214634noreply@blogger.com