tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post2146140631091728213..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Pregunta.David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger14125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-52554486584710379092010-06-11T19:45:05.237-05:002010-06-11T19:45:05.237-05:00Carlos, pero necesitas más que un supremo. El supr...Carlos, pero necesitas más que un supremo. El supremo a veces es parte del conjunto y a veces no. En este caso requerimos que el supremo sea un elemento del conjunto. Algo que olorin no demostró.Enrique Treviñohttps://www.blogger.com/profile/08421794717794616014noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-13047175735368557272010-06-03T03:43:10.649-05:002010-06-03T03:43:10.649-05:00Mira para responder tu pregunta
"Te piden e...Mira para responder tu pregunta <br /><br />"Te piden encontrar el máximo número real A que cumple una desigualdad. Pero, necesariamente existe ese real?"<br /><br />Me gusta mucho que te hagas esta pregunta. Mira los numeros reales tienen la propiedad de que cualquier subconjunto P de numeros reales no vacio y con una cota superior tiene necesariamente un supremo. i.e el numero mas chico mayor a cualquier numero que pertenece a P. Entonces para decir que esta A existe tienes que demostrar que el conjunto no es vacio y que tiene una cota con eso es suficiente para decir que existe un supremo. <br /><br />De hecho esta propiedad es una propiedad "fundamental" de los reales. Por ejemplo puedes demostrar que cuealquier cuerpo ordenado que tenga supremo tiene que ser isomorfo a los numeros reales. Estoy hablando muchas palabras raras tal vez. Pero lo que quiero decir es que esta propiedad es caracteristica de los reales. No lo cumplen los complejos ni los racionales ni ninguna otro cuerpo que te puedas imaginar.Carloshttps://www.blogger.com/profile/16535807801320288142noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-54161160888257629122010-06-02T10:38:59.217-05:002010-06-02T10:38:59.217-05:00Es lo malo de mathlinks, luego las soluciones que ...Es lo malo de mathlinks, luego las soluciones que ponen estan mal, o como se quieren ver muy pros, la ponen super cortita y se saltan muchisimos pasos y luego no se entienden!!Georgeshttps://www.blogger.com/profile/01952800395162229443noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-57439401580044218902010-06-02T10:38:55.554-05:002010-06-02T10:38:55.554-05:00Es lo malo de mathlinks, luego las soluciones que ...Es lo malo de mathlinks, luego las soluciones que ponen estan mal, o como se quieren ver muy pros, la ponen super cortita y se saltan muchisimos pasos y luego no se entienden!!Georgeshttps://www.blogger.com/profile/01952800395162229443noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-82345445694503983582010-06-01T23:02:14.848-05:002010-06-01T23:02:14.848-05:00Gracias, ya quedó claro!Gracias, ya quedó claro!Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/05794432469421501329noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-9678181165113771982010-06-01T22:40:01.561-05:002010-06-01T22:40:01.561-05:00Es la misma razón del comentario donde explique po...Es la misma razón del comentario donde explique porque 1/2 cumple.<br /><br />Trataré de explicarlo mejor:<br /><br />Para cualquier epsilon > 0, sabemos que para toda x, f(x) >= (A - epsilon)x.<br /><br />Esto cumple para cualquier epsilon.<br />Supón que existe una función g que no cumple que g(x) >= A x para toda x.<br />Entonces para algún c > 0 y algún x, g(x) <= (A - c)x.<br />Sin embargo, si escoges epsilon = c/2, entonces g(x) >= (A - c/2)x (por lo que demostramos de que toda f cumple f(x) >= (A-epsilon)x).<br />Llegamos a una contradicción ya que 1/2 - c/2 > 1/2 - c. Por lo tanto todas las funciones cumplen que f(x) >= Ax para toda x.Enrique Treviñohttps://www.blogger.com/profile/08421794717794616014noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-41802597408873785722010-06-01T22:26:37.459-05:002010-06-01T22:26:37.459-05:00Creo que me perdí en tu última parte de la explica...Creo que me perdí en tu última parte de la explicación. Hasta f(x)>=A'x>=(A-epsilon)x todo va bien, pero no entendí por qué esto implica que A está en G.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/05794432469421501329noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-12421760617134618422010-06-01T22:14:52.419-05:002010-06-01T22:14:52.419-05:00El supremo es como el máximo. Si tu conjunto es de...El supremo es como el máximo. Si tu conjunto es de reales entonces a veces el conjunto no tiene máximo. Sin embargo siempre tiene un supremo (aunque a veces el supremo = infinito).<br /><br />Ejemplos:<br />sup{1,2,3} = 3<br />sup{1,2,3,3.1,3.2} = 3.2<br />sup{x: 0 < x < 1} = 1<br /><br />Nota que el conjunto {x: 0 < x < 1} no contiene a 1. No tiene máximo, porque si tu agarras un número cerca de 1, yo te puedo dar uno más grande.<br />Sin embargo, no puedes agarrar nada más chico que 1 que no esté en el conjunto. Por eso 1 es el supremo.Enrique Treviñohttps://www.blogger.com/profile/08421794717794616014noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-29507963885883932842010-06-01T22:02:42.094-05:002010-06-01T22:02:42.094-05:00Oye Quique, otra pregunta, el supremo es como una ...Oye Quique, otra pregunta, el supremo es como una cota o algo así?Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/05794432469421501329noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-79875554540899827802010-06-01T21:59:25.809-05:002010-06-01T21:59:25.809-05:00Como quiera olorin esta bien en que el sup G es un...Como quiera olorin esta bien en que el sup G es un elemento de G en este caso.<br />Demostremoslo:<br />Si A = sup G, entonces para cualquier epsilon > 0, existe un A' en G tal que A-A' < epsilon.<br />Por lo tanto para toda f en F, tenemos que f(x) >= A'x >= (A - epsilon) x.<br />Pero esto es cierto para cualquier epsilon, lo cual implica que tiene que ser cierto que f(x) >= Ax.<br />Por lo tanto A en G.<br /><br />Ahora que tenemos que el sup G está en G, el resto de la demostración sirve.Enrique Treviñohttps://www.blogger.com/profile/08421794717794616014noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-5321122793305983352010-06-01T21:51:40.616-05:002010-06-01T21:51:40.616-05:00Diego, creo que leíste mal la solución de olorin, ...Diego, creo que leíste mal la solución de olorin, si usa dice que A es el máximo elemento en G, de hecho con eso da el último paso de que A>=1/2Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/05794432469421501329noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-87529951382231192732010-06-01T21:50:02.459-05:002010-06-01T21:50:02.459-05:00Diego, cuando olorin demuestra que A <= 1/2 tie...Diego, cuando olorin demuestra que A <= 1/2 tiene razón. Si te fijas la función f(x) = x/2, cumple las caracteristicas de F y no cumple f(x) >= Ax para A > 1/2. Así que A <=1/2. En esa parte no demuestra que 1/2 está en G. Lo demuestra despues.Enrique Treviñohttps://www.blogger.com/profile/08421794717794616014noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-33961634976533819212010-06-01T21:47:50.213-05:002010-06-01T21:47:50.213-05:00Tenía un post largo tratando de explicar lo que hi...Tenía un post largo tratando de explicar lo que hizo olorin para demostrar que el maximo existe, pero me parece que tiene un fallo.<br />Demuestra que G no es vacío y que tiene una cota superior. Por lo tanto tiene un supremo. Pero no explica porque el supremo esta en G.<br /><br /><br />Con respecto a tu pregunta de convergencia. Pues todas las funciones cumplen que f(x) >= (1/2 -epsilon)x.<br />Pero epsilon puede acercarse tanto a cero como quieras, lo cual implica que f(x)>= 1/2 x.Enrique Treviñohttps://www.blogger.com/profile/08421794717794616014noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-42357251540789387552010-06-01T21:42:16.641-05:002010-06-01T21:42:16.641-05:00la solucion de "olorin" muestra que 1/3 ...la solucion de "olorin" muestra que 1/3 esta en el subconjunto G de tales A's que cumplen eso(sin que necesariamente sea el elemento mayor)<br />creo que tiene un paso mal,dice que 1/2 esta en G entonces el A maximal es menor o igual a 1/2, pero seria A mayor o igual a 1/2, pero igual eso es otro detalleAnonymoushttps://www.blogger.com/profile/14839425512917090298noreply@blogger.com