tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post2989267968741612053..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problema del Día (Adán)David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger2125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-88769502001093450642013-06-24T23:26:43.362-05:002013-06-24T23:26:43.362-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-45095373070888875722013-06-24T23:20:06.710-05:002013-06-24T23:20:06.710-05:00El ejercicio se resuelve utilizando el método de l...El ejercicio se resuelve utilizando el método de la inversión geométrica. <br /><br />PASO $1$: Uno se fija que $AXKC$ y $AYKB$ son cíclicos. Ésto es fácil pues $XYA=YPC=XPB=YAX$ por lo que $XAY$ es isósceles y $XKC=XKP+PKC=YXP+PYA=$$PYA+YPC-YCP=$$YPC+YCP+YPC-YCP$$=2YPC=2XYA=180-XAC$ y lo análogo. <br /><br />PASO $2$: Invertir con centro en $A$.<br />Se obtiene un triángulo isósceles $AXY$ con $B$ y $C$ sobre $AX$ y $AY$, respectivamente, y $K=BY \cap XC$ , de tal manera que los circuncírculos de $KCY$ y $KXB$ son tangentes al de $AXY$. $Q=BC \cap XY$ y se desea demostrar que $APK+AQK=AQX$, que se reduce a $APK=KQX$<br /><br />PASO $3$: Veré que el circuncírculo de $KXY$ es tangente a AY y AX. Como el circuncírculo de $KCY$ es tangente al de $AYX$, si nos tomamos un punto $Z$ sobre su tangente común veremos que $CKY=CYZ=AXY$ por lo que $CKY=BKX=AYX=AXY$. De ahí es claro que el circuncírculo de $KXY$ es tangente a $AX$ y $AY$.<br /><br />PASO $4$: Encontraré el ángulo $KQX$. En el triángulo $KXY$, las intersecciones de los lados con las tangentes al circuncírculo del vértice opuesto son colineales. De ahí se obtiene que $DK$ es tangente al circuncírculo de $KYX$. De ahí $KQX=KYX-KXY$. Por ende bastará con demostrar $APK=KYX-KXY$.<br /><br />PASO $5$. Mostraré que $KCYP$ y $KBPX$ son cíclicos. Vemos que $CPY=APY-APC=ABY-AXC=BKX=CKY$. Por ende $CKPY$ es cíclico y análogamente $BKPX$ también lo es.<br /><br />Para terminar, vemos que $APK=APC-KPC=AXC-BYA=$$AXY-CXY-AYX+BYX=$$KYX-KXY$, por lo que acabamos. $\blacksquare$Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.com