tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post3045040754498706075..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problema del día: 4 de junioDavid (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger9125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-17920701361158187642010-06-08T01:44:09.998-05:002010-06-08T01:44:09.998-05:00SPG supongamos que a_r es primer número de la suce...SPG supongamos que a_r es primer número de la sucesión que es divisible entre 2003 entonces a_r congruente con 0. Si y solo si a_r(a_{r-1})=(a_r)(b_r)+1=0 mod 2003<br />Si y solo si (a_r)(b_r) congruente con -1 mod 2003 si y solo si b_r=0 mod 2003. Ahora si probamos que (a_r)(b_r) es residuo cuadratico mod 2003 siempre, entonces ya acabamos por que como 2003 es congruente con 3 mod 4 entonces -1 no es residuo cuadratico y entonces (a_{r-1})(b_{r-1}) nunca es congruente con -1 y entonces ninguno de (a_r) o (b_r) es divisible entre 2003.<br /><br />Ahora como (a_0)(b_0)=4=2^2 entonces si es residuo cuadrático y es la base de inducción.<br /><br />Ahora suponte que (a_i)(b_i) es residuo cuadratico, entonces (a_{i+1})(b_{i+1})= [(a_i)(b_i)]^2001+(a_i)^2002+(b_i)^2002+(a_i)(b_i)= [(a_i)(b_i)]^2001+[(a_i)(b_i)]^2002+[(a_i)(b_i)]^2003= ([(a_i)(b_i)]^2001)[(a_i)(b_i)+1]^2 que es claramente un residuo cuadratico debido a que (a_i)(b_i) lo es por la hipotesis de inducción.Georgeshttps://www.blogger.com/profile/01952800395162229443noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-12699388990138552882010-06-05T17:14:29.584-05:002010-06-05T17:14:29.584-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Manuel Dosalhttps://www.blogger.com/profile/13095378459098544623noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-18370943681177930992010-06-04T20:30:47.979-05:002010-06-04T20:30:47.979-05:00No permite subirlo con el formato que tenia, aqui ...No permite subirlo con el formato que tenia, aqui esta la solucion otra vez.<br />a_0=1, b_0=4.<br />Sea i_x tal que i_x(x) ≡1(mod 2003), x^2001≡ i_x para todo (x,2003)=1. Por que 2003 es primo.<br /><br />Supongamos que existe x tal que 2003 divide a a_x+1 o b_x+1, y que n es el numero mas pequeño que cumple. (a_m,2003)=1 para m<n<br />a_n+1≡ i_an + b_n ≡0(mod 2003) sii (a_n)i_an + (a_n)b_n ≡1+ (a_n)b_n≡0(mod 2003) sii (a_n)b_n ≡-1<br />sii 1+(a_n)b_n≡(b_n)i_bn + (a_n)b_n ≡0(mod 2003) sii b_n+1≡ i_an + b_n ≡0(mod 2003)<br /><br />b_2r≡4(a_2r) y a_2k+1≡4 (b_2k+1)(mod 2003) , para todo k tal que 2k+1≤n+1 y r tal que 2r≤n+1.<br />Ya que b_0=4 a_0 .<br />Si b_m= 4_am para m<n+1, entonces a_m+1≡ i_am + b_m ≡ 4(i_am)( i_4) + 4_am ≡ 4(i_4am+ a_m) ≡4(i_bm+ a_m) ≡4( b_m+1), analogamente si a_m = 4 (b_m) entonces b_m+1≡4(a_m+1).<br /><br />Si n=2s entonces b_n≡4(a_n)(mod 2003) y (a_n)b_n ≡(a_n)^2 i_4 ≡-1(mod 2003) entonces <br />(a_n)^2 ≡-4(mod 2003) lo cual es una contradiccion ya que 2003 es un primo congruente con 3 (mod 4).<br />Análogamente si n=2s+1 entonces a_n ≡4 b_n (mod 2003) y (b_n)^2 ≡-4(mod 2003) lo que es una contradicción.José Luis Miranda Olverahttps://www.blogger.com/profile/16547569005999135368noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-91732161297980306762010-06-04T20:21:26.535-05:002010-06-04T20:21:26.535-05:00a0=1, b0=4.
Sea ix tal que ix(x) ≡1(mod 2003), x20...a0=1, b0=4.<br />Sea ix tal que ix(x) ≡1(mod 2003), x2001≡ ix para todo (x,2003)=1.<br /><br />Supongamos que existe x tal que 2003 divide a ax+1 o bx+1, y que n es el numero mas pequeño que cumple. (am,2003)=1 para m<n<br />an+1≡ ian + bn ≡0(mod 2003) sii (an)ian + (an)bn ≡1+ (an)bn≡0(mod 2003) sii (an)bn ≡-1<br />sii 1+ (an)bn≡(bn)ibn + (an)bn ≡0(mod 2003) sii bn+1≡ ian + bn ≡0(mod 2003)<br /><br />b2r≡4 a2r y a2k+1≡4 b2k+1(mod 2003) , para todo k tal que 2k+1≤n+1 y r tal que 2r≤n+1.<br />Ya que b0=4 a0 .<br />Si bm= 4am para m<n+1, entonces am+1≡ iam + bm ≡ 4(iam)( i4) + 4am ≡ 4(i4am+ am) ≡4(ibm+ am) ≡4( bm+1), analogamente si am = 4 bm entonces bm+1≡4(am+1).<br /><br />Si n=2s entonces bn≡4 an(mod 2003) y (an)bn ≡(an)2 i4 ≡-1(mod 2003) entonces <br />(an)2 ≡-4(mod 2003) lo cual es una contradiccion ya que 2003 es un primo congruente con 3 (mod 4).<br />Análogamente si n=2s+1 entonces an ≡4 bn (mod 2003) y (bn)2 ≡-4(mod 2003) lo que es una contradicción.José Luis Miranda Olverahttps://www.blogger.com/profile/16547569005999135368noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-16932175627607810842010-06-04T15:35:10.474-05:002010-06-04T15:35:10.474-05:00¡Muy bien Flavio! y muy bien explicado¡Muy bien Flavio! y muy bien explicadoEl niñohttps://www.blogger.com/profile/16779484156175852283noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-61740608548170025962010-06-04T15:16:54.941-05:002010-06-04T15:16:54.941-05:00¡Muy bien Daniel!¡Muy bien Daniel!El niñohttps://www.blogger.com/profile/16779484156175852283noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-29426279255651672032010-06-04T15:10:36.792-05:002010-06-04T15:10:36.792-05:00Aqui esta mi solucion:
Primero veamos que si 2003 ...Aqui esta mi solucion:<br />Primero veamos que si 2003 no divide a h entonces h^2002 congruente a 1 modulo 2003, por<br />teorema de fermat, ya que 2003 es primo, y ademas no existe entero f tal que 2003 | f^2+1<br />ya que 2003 es un primo de la forma 4r+3<br />Probare por induccion que:<br /> a) 2003 no divide a a_k*b_k<br /> b) a_k*b_k es residuo cuadratico modulo 2003.<br />Caso base:<br /> k=0<br /> 2003 no divide a 4*1=4<br /> 4*1=2^2 es residuo cuadratico modulo 2003.<br />Hipotesis:<br /> se vale para k=n<br /> Luego <br /> a_n+1*b_n+1 congruente a (a_n^2001+b_n)*(b_n^2001+a_n) mod 2003<br /> congruente a a_n^2002+a_n*b_n+b_n^2001+(a_n*b_n)^2001<br /> pero como 2003 no divide a a_n*b_n (por hipotesis)<br /> entonces 2003 no divide a ninguno de los dos<br /> entonces <br /> a_n^2002 congruente a b_n^2002 congruente a 1<br /> entonces<br /> a_n+1*b_n+1 congruente a 2+a_n*b_n+(a_n*b_n)^2001 mod 2003<br /> pero (a_n*b_n)^2002 congruente a 1 mod 2003, entonces<br /> a_n*b_n congruente a (a_n*b_n)^2003<br /> y 2 congruente a 2*(a_n*b_n)^2002<br /> a_n+1*b_n+1 congruente a 2*(a_n*b_n)^2002+(a_n*b_n)^2003+(a_n*b_n)^2001 mod 2003<br /> congruente a (a_n*b_n)^2001*(2*(a_n*b_n)+(a_n*b_n)^2+1) mod 2003<br /> pero a_n*b_n es residuo cuadratico, y el factor derecho es (a_n*b_n+1)^2 que tambien<br /> es residuo cuadratico, entonces a_n+1*b_n+1 tambien es residuo cuadratico.<br /> luego si 2003 | a_n+1*b_n+1 entonces <br /> 2003 | (a_n*b_n)^2001*((a_n*b_n + 1)^2)<br /> pero como 2003 no divide a a_n*b_n entonces son primos relativos y entonces<br /> 2003 | (a_n*b_n + 1)^2<br /> entonces com 2003 es primo<br /> 2003 | a_n*b_n + 1<br /> pero como a_n*b_n es residuo cuadratico entonces a_n*b_n es congruente a x^2 mod 2003<br /> para algun entero x pero entonces<br /> 2003 | x^2+1, pero como 2003 es un primo de la forma 4r+3 entonces no se puede<br /> entonces 2003 no divide a a_n+1*b_n+1, lo que completa la induccion.<br />Entonces 2003 no divide a a_k*b_k para ninguna k>=0, entonces<br />2003 no divide a ninguno de a_k y b_k entonces 2003 no divide a ningun termino de la<br />sucesion, que es lo que queria demostrar.Flaviohttps://www.blogger.com/profile/05534283841386385435noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-29590955101201605622010-06-04T12:15:46.416-05:002010-06-04T12:15:46.416-05:00solución:
no se si sea muy claro lo que acabo de p...solución:<br />no se si sea muy claro lo que acabo de poner, pero por si a caso va en resumen mi idea. usamos inducción, en a_n*b_n suponiendo que es distinto de 0 y es un residuo cuadratico mod 2003 es facil ver que la base cumple. Viendo que 2003 es primo, usando la formula de recursion, el pequeño teorema de fermat y viendo que como a_n*b_n es primo relativo con 2003 podemos pasar dividiendo llegamo a que:<br />(a_{n+1})(b_{n+1}) es congruente a [a_{n}b_{n} + 1]^[2]/a_{n}b_{n} (mod2003)<br />y como 2003 congruente con 3 (mod4)<br />entonces -1 no es residuo cuadratico (facil de ver por fermat) entonces el numerador es distinto de 0 y es un residuo cuadratico, y el denominador es tambien un residuo cuaratico, lo que completa la inducción.<br /><br />me gusto el problemaDANIELIMOhttps://www.blogger.com/profile/02024822566397214634noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-59895456340255347542010-06-04T12:04:44.178-05:002010-06-04T12:04:44.178-05:00(a_{n+1})(b_{n+1}) = (a_{n}^{2001}+b_{n}) (b_{n}^{...(a_{n+1})(b_{n+1}) = (a_{n}^{2001}+b_{n}) (b_{n}^{2001}+a_{n}) congruente con 2 + 1/a_{n}b_{n} + a_{n}b_{n} (mod 2003) (2003 es primo)<br /><br />(a_{n+1})(b_{n+1}) congruente con<br />2 + 1/a_{n}b_{n} + a_{n}b_{n} =<br />(2a_{n}b_{n} + 1 + [a_{n}b_{n}]^2)/<br />a_{n}b_{n} = [a_{n}b_{n} + 1]^2/<br />a_{n}b_{n}<br /><br />suponemos por induccion que a_{n}b_{n} es residuo cuadratico modulo 2003 y que no es divisible entre 2003, es facil checar la base con a_0*b_0 y por lo de arriba es facil ver que (a_{n+1})(b_{n+1}) teniendo en cuenta que como 2003 es congruente con 3 mod 4 entonces -1 no es residuo mod 2003<br />y acabamosDANIELIMOhttps://www.blogger.com/profile/02024822566397214634noreply@blogger.com