tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post3457130146225283481..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger2125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-70538033371261337352016-06-08T13:21:54.656-05:002016-06-08T13:21:54.656-05:002. Sea $X \neq A$ la intersección de la tangente a...2. Sea $X \neq A$ la intersección de la tangente a $C_2$ por $A$ con $C_1$ y sea $Y \neq A$ la intersección de la tangente a $C_1$ por $A$ con $C_2$. Por angulitos (dirigidos) veo que $KX \parallel AM$ y $MY \parallel AK$, entonces $Q$ es el punto medio de los arcos $KX$ de $C_1$. Sin pérdida de generalidad es el del arco que contiene a $A$, entonces voy a probar que $R$ es el punto medio del arco $MY$ de $C_2$ que no contiene a $R$. Eso equivale a probar que $AR$ es bisectriz interna de $MAY$, y ya que $AQ$ es bisectriz externa del ángulo entre $AX$ y $AK$, equivale a demostrar que $\angle MAK$ es igual al ángulo entre $C_1$ y $C_2$, lo cuál es inmediato con ángulos semiinscritos en $C_1$ y $C_2$.<br /><br />Ahora, para la segunda parte, quiero probar que las paralelas a $AM$ por $Q$ y a $AK$ por $R$ concurren en $MK$. Con angulitos (dirigidos) veo que $QK \parallel RM$. Si $AR \parallel KM$ esto implica que $QRMK$ es un paralelogramo, entonces si $T$ es el punto tal que $ARTK$ es paralelogramo, entonces como $AR = KT$ y $QR = KM$, me queda que $TM = AQ$ y $AQTM$ también es paralelogramo.<br /><br />Si $AR$ y $KM$ no son paralelas, sea $O$ su intersección, y sea $T$ la intersección de la paralela a $AM$ por $Q$ con $KM$, entonces<br /><br />$$\frac{OM}{OT} = \frac{OA}{OQ} \quad \text{y} \quad \frac{OK}{OM} = \frac{OQ}{OR}$$<br /><br />Multiplicando esas dos cosas me queda que $\frac{OK}{OT} = \frac{OA}{OR}$, y $AK \parallel RM$.Arielhttps://www.blogger.com/profile/01448135590361074114noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-32459027062971654222016-06-08T13:09:47.007-05:002016-06-08T13:09:47.007-05:001. Pruebas por inducción sobre $n$ que si tengo $3...1. Pruebas por inducción sobre $n$ que si tengo $3n!$ alienigenas y $n$ idiomas entonces hay un triángulo. Para el paso inductivo tomas un alien y el idioma que habla con más aliens, y por casillas lo habla con al menos <br /><br />$$\left \lceil \frac{3n! - 1}{n} \right \rceil \geq 3(n-1)!$$<br /><br />Aliens. Si entre esos aliens se repite ese mismo idioma acabé, de lo contrario por hipótesis inductiva acabé.Arielhttps://www.blogger.com/profile/01448135590361074114noreply@blogger.com