tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post3588754150854812246..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problemas del ViernesDavid (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger4125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-63318531384621047802016-06-06T17:57:14.860-05:002016-06-06T17:57:14.860-05:00Hints en ROT13 (ponganlos en http://www.rot13.com/...Hints en ROT13 (ponganlos en http://www.rot13.com/ y se los traduce, para que no los vean por accidente):<br /><br />2. Phragra gencrpvbf vfófpryrf, dhr ln fnora dhr fba pípyvpbf<br /><br />3. Gevtb. Ab rf ha yhtne trbzégevpb "abezny".Arielhttps://www.blogger.com/profile/01448135590361074114noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-67766708913329733022016-05-27T22:49:19.058-05:002016-05-27T22:49:19.058-05:00Como el dominio de $f$ son los racionales positivo...Como el dominio de $f$ son los racionales positivos, podemos ver a $x$ como $\dfrac{p}{q}$ con $p, q$ enteros positivos, entonces, al sustituir en las condiciones deseadas, tenemos que $f\left( \dfrac{p}{p+q} \right) =\dfrac{qf \left( \dfrac{p}{q} \right)}{p+q}$ (Condición $1$), y que $f \left( \dfrac{q}{p}\right) = \dfrac{q^{3}f \left( \dfrac{p}{q} \right)}{p^{3}}$ (Condición $2$). Ahora, veamos que si $p\textgreater q$, podemos sustituir $p=q+r$ con $r$ entero positivo, ahora, notemos que $\dfrac{q^{3}f \left( \dfrac{q+r}{q} \right)}{(q+r)^{3}} = f \left(\dfrac{q}{q+r}\right)=\dfrac{rf\left(\dfrac{q}{r}\right)}{q+r}$, de donde podemos ver que $f\left(\dfrac{p}{q}\right)$ se puede conocer si conocemos $f\left(\dfrac{q}{r}\right)$, además, notemos que $p+q\textgreater q+r$. Ahora, si $p\textless q$, sea $q=p+s$, entonces tenemos que $f \left(\dfrac{p}{q}\right)=f \left(\dfrac{p}{p+s}\right)=\dfrac{sf\left(\dfrac{p}{s}\right)}{p+s}$, donde podemos ver que podemos obtener $f\left(\dfrac{p}{q}\right)$ a partir de $f\left(\dfrac{p}{s}\right)$, y además, $p+q\textgreater p+s$, con esto, es fácil ver que podemos ir reduciendo el valor de la suma de numerador+denominador, siempre que sean distintos, pero como son enteros positivos, su suma no puede disminuir de manera infinita, entonces eventualmente se llega a que son iguales, lo que nos dice que si conocemos $f(1)$, toda la función queda definida. Con esto, es fácil ver que $f\left(\dfrac{p}{q}\right)=\dfrac{p^{2}f(1)}{q}$, y terminamos.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/14569081594815644147noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-85499422899662625162016-05-27T22:43:23.927-05:002016-05-27T22:43:23.927-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/14569081594815644147noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-45850822651825148252016-05-27T22:41:26.849-05:002016-05-27T22:41:26.849-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/14569081594815644147noreply@blogger.com