tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post3592997220116268339..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Jueves de Geometría 2. David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger3125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-36182046603366735702017-06-11T17:17:01.187-05:002017-06-11T17:17:01.187-05:00Mi solución es casi igual a la de Ari, pero para c...Mi solución es casi igual a la de Ari, pero para completarla aquí va la prueba de lo del final del punto en un triángulo y sus reflexiones: <br /><br />Sean $X, Y, y Z$ los tres puntos para los que que queremos probar que $XYZ$ es semejante $ABC$, veamos que las mediatrices de $PX$, $PY$, y $PZ$ son las también las mediatrices de los lados del $ABC$, y, por lo tanto, concurren, esto implica la existencia de un punto $O$ con $OP=OX=OY=OZ$, y se sigue que $PXYZ$ es cíclico, ahora si, con angulitos es inmediato el resultado.Anonymousnoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-30098732425560872432017-06-11T15:51:53.860-05:002017-06-11T15:51:53.860-05:00Ok Ari, está bien, los demás que onda?Ok Ari, está bien, los demás que onda?Lalohttps://www.blogger.com/profile/03318308806146254451noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-72858114125351898512017-06-08T10:00:57.591-05:002017-06-08T10:00:57.591-05:00Sketch: Sean $P, Q, R$ las intersecciones de $AH, ...Sketch: Sean $P, Q, R$ las intersecciones de $AH, BH, CH$ con el circuncírculo de $ABC$, entonces $PQR$ es semejante al órtico pues es homotético a este desde el ortocentro. Con angulitos vemos fácilmente que $HX_A$ es paralela a $QR$, y ya que $AH = AQ = AR$ pues $P, Q, R$ son las reflexiones de $H$ respecto a los lados, se sigue que $HX_AQR$ es un trapecio isósceles, y entonces $X_A$ es la reflexión de $H$ respecto a la mediatriz de $QR$.<br /><br />Ahora resta probar que si $ABC$ es un triángulo y $P$ un punto arbitrario entonces las reflexiones de $P$ respecto a las mediatrices de los lados de $ABC$ determinan un triángulo semejante a $ABC$. Esto se establece fácilmente con ángulitos dirigidos.Arielhttps://www.blogger.com/profile/01448135590361074114noreply@blogger.com