tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post3909131394550695887..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problema del Día, Miércoles 16 de Mayo (Chuck)David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger11125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-554741916143476122012-05-19T15:12:49.890-05:002012-05-19T15:12:49.890-05:00No se porque no se ve, la segunda derivada queda: ...No se porque no se ve, la segunda derivada queda: $\frac{e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3}$jorge garza vargashttps://www.blogger.com/profile/02164601736651714963noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-54523004266224657482012-05-19T15:11:23.219-05:002012-05-19T15:11:23.219-05:00No se porque no se ve, la segunda derivada queda: ...No se porque no se ve, la segunda derivada queda: $\frac{e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3}$jorge garza vargashttps://www.blogger.com/profile/02164601736651714963noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-67395826469036285332012-05-19T15:09:27.082-05:002012-05-19T15:09:27.082-05:00Yo lo hice igual q adan, de hecho viene en el libr...Yo lo hice igual q adan, de hecho viene en el libro rosa de desigualdades en la sección de funciones convexas.<br />@Adán: como viste que claramente $f$ es convexa, yo tuve que derivar dos veces y queda $f''(x)=\frac{e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3}$ lo cual es claramente positivo para $x\geq 0$ que es la traducción de la condición de la hipótesis. Pero queria ver si habia una forma más elemental de ver la convexidad.jorge garza vargashttps://www.blogger.com/profile/02164601736651714963noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-1090923718005144442012-05-17T07:35:29.037-05:002012-05-17T07:35:29.037-05:00Sale con Jensen y la función $\frac{1}{e^{x}+1}$ d...Sale con Jensen y la función $\frac{1}{e^{x}+1}$ directoJulioChttps://www.blogger.com/profile/06667999572736030181noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-6056643691043117432012-05-16T21:37:43.230-05:002012-05-16T21:37:43.230-05:00Es de la Shortlist de 1999... aunque esa solución ...Es de la Shortlist de 1999... aunque esa solución es la que saqué yo, la solución "official" consistía en una inducción, probándola para potencias de dos y luego para los números menores a una potencia, metiendo términos comodines de ambos lados para completar la potencia. Me pareció una estrategia interesante.Chuckhttps://www.blogger.com/profile/07618597892267253631noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-23330452675315474292012-05-16T21:21:16.230-05:002012-05-16T21:21:16.230-05:00Chuck, ¿de dónde sacaste el problema?Chuck, ¿de dónde sacaste el problema?Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-89875295896997172682012-05-16T19:10:14.705-05:002012-05-16T19:10:14.705-05:00Sustituyo $x_i=log r_i$ entonces se reduce a ver q...Sustituyo $x_i=log r_i$ entonces se reduce a ver que la suma de $\frac{1}{e^{x_i}+1}$ es mayor o igual que $\frac{n}{e^{\frac{x_1+...+x_n}{n}}+1}$ y ésto es cierto por Jensen.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-2993751700231654942012-05-16T19:09:33.863-05:002012-05-16T19:09:33.863-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-25806391042402475372012-05-16T18:42:20.211-05:002012-05-16T18:42:20.211-05:00El cuadro rojo que sale es la desigualdad que sale...El cuadro rojo que sale es la desigualdad que sale arriba en el problema.Adánhttps://www.blogger.com/profile/03649490685435834001noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-55691352489811245082012-05-16T18:41:21.823-05:002012-05-16T18:41:21.823-05:00Sea $a$ un real positivo. Consideremos la función
...Sea $a$ un real positivo. Consideremos la función<br /><br />$f\left(x\right)=\frac{1}{a^{x}+1}$<br /><br />Como $r_{1}, r_{2}, \ldots ,r_{n}$ son reales positivos mayores a $1$, tenemos que<br /><br />$r_{i}=a^{\gamma_{i}}$<br /><br />para cada $i$, donde $\gamma_{i}\geq 0$. Claramente $f\left(x\right)$ es convexa cuando $x\geq 0$, por lo que tenemos que, por Jensen<br /><br />$\sum_{i=1}^{n}{f\left(\gamma_{i}\right)}\geq n\cdot f\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}{\gamma_{i}}}{n}\right)$<br /><br />de donde directamente obtenemos<br /><br />$\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{r_{i}+1}}\geq \frac{n}{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}{r_{i}}+1}$<br /><br />que es lo que queríamos demostrar.Adánhttps://www.blogger.com/profile/03649490685435834001noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-80666208984754307552012-05-16T17:51:53.355-05:002012-05-16T17:51:53.355-05:00Lamento la A con acento... no sé por qué apareció....Lamento la A con acento... no sé por qué apareció...Anonymousnoreply@blogger.com