tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post3922028554782305116..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problemas del miércolesDavid (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger3125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-88906042395082065802015-06-20T00:00:29.834-05:002015-06-20T00:00:29.834-05:00si a_0 a1 a2,... son impares que satsifacen una re...si a_0 a1 a2,... son impares que satsifacen una recursion linear<br />y el polinomio de esa recursion tiene raices r1 r2 ... rk con r2 ,.., rk <1<br />entonces para K grande<br />a_K es MUY aproximado a 2r_1^K<br />entonces para K grande, r_1^K cumple<br />y ya, te tomas r=r_1^N para N muy grandeJuanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-80732386194901585092015-06-19T23:13:26.007-05:002015-06-19T23:13:26.007-05:00Ah, olvidé decir $f(12)=6$.Ah, olvidé decir $f(12)=6$.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-25465502851624963582015-06-19T23:12:53.330-05:002015-06-19T23:12:53.330-05:00Para cualquier $n$ natural, sea
$f(n)=11v_{11}(n)...Para cualquier $n$ natural, sea<br /><br />$f(n)=11v_{11}(n)+7v_7(n)+9v_5(n)+4v_3(n)+v_2(n)$.<br /><br />Nótese que $f(nm)=f(n)+f(m)$. Ponemos a $n$ en un conjunto de acuerdo a la congruencia módulo $12$ de $f(n)$.<br /><br />Si no cumpliera, entonces para algún $k$ y algunos $1 \le a \neq b \le 12$, tengo que $ka$ y $kb$ son del mismo color. Entonces $f(ka) \equiv f(kb) (\bmod 12)$ y así, por la fórmula, $f(a) \equiv f(b) (\bmod 12)$. Sin embargo,<br /><br />$f(1)=0$<br />$f(2)=1$<br />$f(3)=4$<br />$f(4)=2$<br />$f(5)=9$<br />$f(6)=5$<br />$f(7)=7$<br />$f(8)=3$<br />$f(9)=8$<br />$f(10)=10$<br />$f(11)=11$<br /><br />y vemos que $f(a) \neq f(b) (\bmod 12)$ si $1 \le a \neq b \le 12$. Entonces, SÍ es posible, con esta construccion.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.com