tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post4900840071897117517..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problema del día 23 de Mayo (Centros)David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger4125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-1846340386879215642011-05-23T22:28:40.643-05:002011-05-23T22:28:40.643-05:00Usaremos inducción sobre $b$.
Con $b=3$ tenemos q...Usaremos inducción sobre $b$.<br /><br />Con $b=3$ tenemos que $a(a^2-3)\geq 2$, pero como $a\geq 2$ tenemos que $a^2-3\geq 1$, por lo que el caso base es cierto.<br /><br />Ahora supongamos que $a^k\geq ka+k$. Veamos que $a^{k+1}+1-a^k-1=(a-1)\cdot a^k$ y que $(k+1)(a+1)-k(a+1)=a+1$. Entonces, veamos que $(a-1)\cdot a^k>a+1$, lo que implica que $a((a-1)\cdot a^{k-1}-1)>1$, pero $a>1$ y $a-1\geq 1$, $a^{k-1}>1$, entonces tenemos que $(a-1)\cdot a^{k-1}-1>1$, por lo que es cierto que $(a-1)\cdot a^k>a+1$.<br /><br />Entonces tenemos que como $a^k+1\geq k(a+1)$, tenemos que<br /><br />$a^k+(a-1)\cdot a^k+1>k(a+1)+a+1$ por lo que<br />$a^{k+1}+1>(k+1)(a+1)$, y queda probada la desigualdad.<br /><br />Ahora, vemos que para $k>3$, no se da la igualdad, por lo que la igualdad se da si y solo si $k=3$, pero queremos que $a^3+1=3a+3$ lo que nos lleva a $a(a^2-3)=2$, y como $a\geq 2$, y $a^2-3\geq 1$, la igualdad se da si y solo si $a=2$.<br /><br />Probamos $a=2, b=3$ y tenemos $9=2^3+1=3(2+1)=9$, y funciona. Entonces la igualdad se da si y solo si $a=2, b=3$.Adánhttps://www.blogger.com/profile/03649490685435834001noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-6864752658016322342011-05-23T19:31:01.861-05:002011-05-23T19:31:01.861-05:00Oh perdon. Claramente si $a \ge 3$, como en el pas...Oh perdon. Claramente si $a \ge 3$, como en el paso de la inducción, nos olvidamos de $\displaystyle\sum_{i=2}^{b-1} a^i*C(b, i)$, que, como $b \ge 3$, tiene al menos un termino (positivo claramente). Asi que si $a \ge 3$, la igualdad no se da. Si $a=2$, usamos que $2^b \ge 3$, nunca se da la igualdad. Asi, se debe dar el caso base. Es decir, $a=2$ , $b=3$, para la igualdad.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-59063631266801545202011-05-23T19:20:29.944-05:002011-05-23T19:20:29.944-05:00Demostrare los siguiente lemas:
------------------...Demostrare los siguiente lemas:<br />----------------------------------------------<br />$LEMA$ $1$ : Para todo $b \ge 3$ entero, $2^b+1 \ge 3b$. <br />$DEMOSTRACION :$ Procedo mediante induccion sobre $b$. <br />CASO BASE ($b=3$):<br />$2^3+1 = 8+1 = 9 \ge 3*3$. Hecho.<br />PASO INDUCTIVO:<br />$2^{b+1}+1 = 2^b + (2^b + 1) \ge$<br />$2^b + 3b \ge 3+3b = 3(b+1)$, donde la primera desigualdad se obtiene de la hipotesis inductiva y la segunda de que $b \ge 3$. <br />Q.E.D.<br />El lema ha sido demostrado.<br />----------------------------------------------<br />$LEMA$ $2$ : Para todo $b \ge 3$ y $a \ge 2$ entero, $(a+1)^b - a^b \ge b$. <br />$DEMOSTRACION :$ Tenemos:<br />$ (a+1)^b - a^b = $ <br />$ \displaystyle\sum_{i=0}^{b-1} a^i*C(b, i)$<br />$ \ge \displaystyle\sum_{i=0}^{1} a^i*C(b, i)$<br />$ = 1+ab \ge ab \ge b$, pues $a \ge 2 \ge 1$, y terminamos. Q.E.D.<br />----------------------------------------------<br />Ahora demostremos el problema, mediante induccion con $a$.<br />CASO BASE: $a=2$.<br />Tenemos $2^b+1 \ge 3b$ por el $LEMA$ $1$.<br />PASO INDUCTIVO: <br />Tenemos:<br />$(a+1)^b + 1 = (a^b + 1) + $<br />$((a+1)^b - a^b)$<br />$\ge b(a+1) + b = b(a+2)$, donde la desigualdad se deriva de la hipotesis inductiva y del $LEMA$ $2$.<br /><br />Hemos acabado. Q.E.D.<br />$\blacksquare$Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-49534441476070522522011-05-23T19:18:12.344-05:002011-05-23T19:18:12.344-05:00La idea es usar inducción sobre b. Primero demuest...La idea es usar inducción sobre b. Primero demuestras el caso base, b=3, y luego sale fácil el paso inductivo.<br />Para ver la igualdad ves que se cumple en a=2, b=3, ves que para valores más grandes la desigualdad se vuelve estricta (puedes ver eso con la inducción).Enriquehttps://www.blogger.com/profile/11803179649726825741noreply@blogger.com