tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post5598537834449599738..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problemas del Día 09-06-13 (Xavi)David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger17125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-34170218572307773392013-06-09T22:41:36.268-05:002013-06-09T22:41:36.268-05:00Ajá.Ajá.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-71259057051184083572013-06-09T22:00:32.550-05:002013-06-09T22:00:32.550-05:00Ya vi como hacerlo bonito, me faltaba una potencia...Ya vi como hacerlo bonito, me faltaba una potencia.<br />D punto medio BC, G interseccion de AB con mediatriz de BC. Luego G es el pie de bisectriz en triangulo FCB. Basta ver que EF||CG. Pero AE/EC=AB/BC asi que basta ver que AF/FG=AB/BC. Pero AF=CF/2. Asi basta ver que CF/2FG = AB/BC. Pero por teo. bisectriz sale que CF/2FG=CB/2GB y así basta ver que CB^2=2GB*AB, o sea BD*BC=BG*BA que es cierto pues ACDG es ciclico porque $A=D=90$. Entonces ya. $\clubsuit$Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-84271633267922951452013-06-09T21:07:48.062-05:002013-06-09T21:07:48.062-05:00y por eso si $y>x$ entonces $sen(40-y)/sen(y)&g...y por eso si $y>x$ entonces $sen(40-y)/sen(y)>sen(40-x)/sen(x)$nivekhttps://www.blogger.com/profile/07710914050318608678noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-87555263430982829372013-06-09T21:06:00.502-05:002013-06-09T21:06:00.502-05:00yo hice una con un ceva trigonometrico trazas $CD$...yo hice una con un ceva trigonometrico trazas $CD$ tal que $ACB$ mide 20 grados. intersecta a $BE$ en $X$ trazamos $FX$ y entonces angulo $XFC$ es de 10 $FCX$ de 10 $XCE$ de 20 y $XEC$ de 100 entonces $XFE+XEF=40$ y el angulo $EFX$ cumple por ceva trigonometrico en $FEC$ y concurriendo en $X$ $sen(100)/sen(20)=sen(40-x)/sen(x)$ pero eso queda en $1/2sen(10)=sen(40-x)/sen(x)$ y $x=10$ cumple y solo hay una solucion para $sen(40-x)/sen(x)$ ya que seno es decreciente nivekhttps://www.blogger.com/profile/07710914050318608678noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-90785118122133889132013-06-09T19:23:41.556-05:002013-06-09T19:23:41.556-05:00Xavi, ¿cómo es la solución bonita?Xavi, ¿cómo es la solución bonita?Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-49827995881466495732013-06-09T19:21:49.036-05:002013-06-09T19:21:49.036-05:00Demostrare que la respuesta es $\boxed{20}$. Prime...Demostrare que la respuesta es $\boxed{20}$. Primero, demuestro que AFE=40.<br /><br />Por el Teorema de la Bisectriz, siendo BE la bisectriz de ABC, vemos que $\frac{AE}{EC}=sin70 $$\Rightarrow AE(1+\frac{1}{sin70})=AC \Rightarrow$$ AE=\frac{ACsin70}{1+sin70}$. Similarmente, por el Teorema de la Bisectriz Generalizado, vemos que $\frac{AF}{FB}=\frac{cos70sin30}{sin40}$, $AF+FB=AB \Rightarrow$$ AF=\frac{ABcos70sin30}{cos70sin30+sin40}$. <br /><br />Asi, $tanAFE=\frac{AE}{AF}=$$\frac{sin70(cos70sin30+sin40)}{cos70sin30(1+sin70)} \times tan20$ , por lo que bastara demostrar que<br /><br />$tan40=\frac{sin70(cos70sin30+sin40)}{cos70sin30(1+sin70)} \times tan20$.<br /><br />Llamemos $x=cos20=sin70$ y $y=sin20=cos70$, y recordemos las formulas del doble angulo. Vemos que, porque sin30=1/2, <br /><br />$\frac{sin70(cos70sin30+sin40)}{cos70sin30(1+sin70)} \times tan20=$$\frac{y+4xy}{1+x}$<br /><br />y<br /><br />$tan40=\frac{sin40}{cos40}=\frac{2xy}{2x^2-1}$<br /><br />por lo que queremos que <br /><br />$\frac{2xy}{2x^2-1}=\frac{y+4xy}{1+x}$, que ocurre si y solo si<br /><br />$\frac{2x}{2x^2-1}=\frac{1+4x}{1+x}$, que ocurre si y solo si<br /><br />$8x^3-6x-1=0$.<br /><br />Sin embargo, por la formula del triple angulo, $\frac{1}{2}=cos60=4x^4-3x$ por lo que $1=8x^3-6x$.<br /><br />Asi, $8x^3-6x-1$ es cierto, y AFE=40.<br /><br />Luego, FCB=40 se ve facilmente, y FBC=20, por lo que AFC=FCB+FBC=60, asi AFC=60. Pero AFC=AFE+EFC=40+EFC por lo que $EFC=20$, y terminamos. $\clubsuit$Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-77978911993974170442013-06-09T18:55:12.888-05:002013-06-09T18:55:12.888-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-27207143668223769832013-06-09T18:54:56.350-05:002013-06-09T18:54:56.350-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-86589083655645837062013-06-09T18:50:43.567-05:002013-06-09T18:50:43.567-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-31062466889053889232013-06-09T16:46:07.363-05:002013-06-09T16:46:07.363-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-53225439375186941122013-06-09T15:30:07.537-05:002013-06-09T15:30:07.537-05:00Ajá, Adán, usé lo mismo también.
¿Es el 2? Ahori...Ajá, Adán, usé lo mismo también. <br /><br />¿Es el 2? Ahorita veo.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-21128258293450048862013-06-09T15:27:50.794-05:002013-06-09T15:27:50.794-05:00Hey! pusiste el problema 3 de redactar de la IMC d...Hey! pusiste el problema 3 de redactar de la IMC de TaiwanAnonymoushttps://www.blogger.com/profile/15538239396337135593noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-51663320688585677782013-06-09T14:52:57.624-05:002013-06-09T14:52:57.624-05:00Mmm, usé Bezout, y vez que el polinomio residuo es...Mmm, usé Bezout, y vez que el polinomio residuo es $0$ para infinitos valores, entonces, como este polinomio tiene grado finito, pues es $0$.<br /><br />Luego vez que $Q$ divide a $P$... y ya?Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/15538239396337135593noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-20468371110975884892013-06-09T14:24:11.510-05:002013-06-09T14:24:11.510-05:00De hecho se cumple para cualquier secuencia $a_1$,...De hecho se cumple para cualquier secuencia $a_1$, $a_2$, ...., con que no pueda haber $a_i=a_j$ con $i$ y $j$ distintos.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-62019766975905032642013-06-09T13:34:30.488-05:002013-06-09T13:34:30.488-05:00segun yo basta tomar si $p^k$ divide exactamente a...segun yo basta tomar si $p^k$ divide exactamente a $Q(x)$ con $p$ primo (para esto se necesita $Q(x)$ no igual a 0) entonces tomamos $a_n$ con $n=p^k+x$ entonces $p^k$ divide a $Q(a_n)$ y por lo tanto a $P(a_n)$ y por lo tanto divide a $P(x)$ todo sale viendo $mod p^k$ entonces $Q(x)$ divide a $P(x)$nivekhttps://www.blogger.com/profile/07710914050318608678noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-44183022723136570432013-06-09T12:49:42.823-05:002013-06-09T12:49:42.823-05:00Claro, si $Q(X)=0$ entonces $P(X)=S(X)=0$. También...Claro, si $Q(X)=0$ entonces $P(X)=S(X)=0$. También, perdón por confundir minúsculas con mayúsculas.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-41734331342508733492013-06-09T12:47:59.586-05:002013-06-09T12:47:59.586-05:00Bueno, no sé si esto esté bien, se me hace algo fá...Bueno, no sé si esto esté bien, se me hace algo fácil, pero bueno.<br /><br />Existen, por Bezout, $R$ y $S$ con coeficientes enteros tal que<br />$P(X)=Q(X)R(X)+S(X)$ con degS$\le$ degQ-1.<br /><br />Entonces $P(a_n)/Q(a_N)=R(a_n)+S(a_n)/Q(a_n)$, entonces éste último término es entero siempre, pero llegará un punto en el que $S(x) \textless Q(x)$, entonces se dará que $S(x)=0$ para infinitos $x$ (es decir, $x=a_m$ con $m$ suficientemente estúpidamente gigante), entonces $s=0$ y $Q | P$.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.com