tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post5756896496943935175..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problema del 10 de junio (Daniel)David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger4125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-5955311570634381842011-06-11T20:24:53.719-05:002011-06-11T20:24:53.719-05:00Yo también usé media cuadrática-aritmética.Yo también usé media cuadrática-aritmética.jorge garza vargashttps://www.blogger.com/profile/02164601736651714963noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-35536043095009865622011-06-11T00:10:03.692-05:002011-06-11T00:10:03.692-05:00Bien, mi solución es basicamente igual a la de Die...Bien, mi solución es basicamente igual a la de DiegoDANIELIMOhttps://www.blogger.com/profile/02024822566397214634noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-19978498511183576812011-06-10T21:36:26.335-05:002011-06-10T21:36:26.335-05:00Mi solucion es parecida, solo que pruebo la cota c...Mi solucion es parecida, solo que pruebo la cota con una Media cuadratica-aritmetica y una ecuacion cuadratica, en vez de usar jensen.Flaviohttps://www.blogger.com/profile/05534283841386385435noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-11749678269130071742011-06-10T20:15:48.787-05:002011-06-10T20:15:48.787-05:00Numeramos las columnas con $1,2,\ldots, n^2+n+1$, ...Numeramos las columnas con $1,2,\ldots, n^2+n+1$, cada una con $c_1,c_2,\ldots,c_{n^2+n+1}$ y el promedio de esos numeros sea $C$. <br />Queremos demostrar que $C\leq n+1$. <br />A cada fila le asignaremos pares no ordenados de columnas, de tal forma que si el par $(a,b)$ de columna esta asignado a $k$, es porque las intersecciones de $k$ y $a$ y $k$ y $b$ estan marcadas.<br />Si dos filas distintas tienen asignado el mismo par, entonces hay un rectangulo. Notemos que la función $\binom{x}{2}$ convexa en $\mathbb{R}$ y creciente a partir de $\frac{1}{2}$. Entonces<br />$$\binom{n^2+n+1}{2}\geq \sum_{i=1}^{n^2+n+1} \binom{c_i}{2}\geq (n^2+n+1)\binom{C}{2}$$<br />La primera desigualdad por casillas, porque todas las filas tienen pares de columnas diferentes, y la segunda por Jensen. Dividiendo entre $n^2+n+1$<br />$$\binom{n+1}{2}\geq \binom{C}{2}\Rightarrow n+1\geq C$$.<br />Porque $n+1,C\geq 1$, asi que como $\binom{x}{2}$ es creciente a partir de $\frac{1}{2}$, se cumple. QED.<br />(si una imagen se sale del comentario, hagan clic derecho y seleccionen "abrir imagen en nueva pestaña/ventana")Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/14839425512917090298noreply@blogger.com