tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post5860933508916479452..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-12229151894260353632015-06-04T17:40:52.598-05:002015-06-04T17:40:52.598-05:00NOTA Importante: Por el teorema de Pick, el área d...NOTA Importante: Por el teorema de Pick, el área de cualquier figura determinada por puntos látice pertence a $ M=\{ n/2 : n \in \mathbb{N}_0 \} $.<br /><br />Solución: Supongamos que nunca podemos lograr que las piedras formen un paralelogramo. Para una configuración de 4 piedras $C$, consideremos el conjunto de las áreas de los triángulos determinados por 3 de las 4 piedras, y sea $f(C)$ el mínimo elemento del conjunto, con $f(C) \in M$.<br /><br />Sea $C_0$ la configuración inicial y $D_0=f(C_0)$. Sean $X_0,Y_0,Z_0$ las 3 piedras que determinan el triángulo de menor área en $C_0$, y $W_0$ la cuarta piedra. Consideremos la sublatíz del plano con origen en $W_0$ y con vectores $X_0Y_0$ y $X_0Z_0$. Podemos mover $W_0$ a cualquier vértice de esta sublatíz. <br /><br />Si consideramos el paralelogramo $X_0Y_0X^{\text{prima}}Z_0$, observemos que podemos lograr que $W_0$ caiga aquí. Pero no se formará un paralelogramo. Entonces $(Y_0Z_0W_0) < (Y_0Z_0X_0) $. Sea la nueva configuración $C_1$ y $D_1=f(C_1)$, se observa que $D_1D_1>D_2>...$, y por descenso infinito, como no hay secuencia de elementos de $M$ descendiente infinita, eventualmente pararé. En este momento las piedras formarán un paralelogramo.<br /><br />Sea $ AB || CD, AD || BC $ el paralelogramo. Si las azules forman un lado del paralelogramo, claramente gané. De lo contrario, sean SPDG $A,C$ azules. Podemos mover $C$ al punto donde está $D$ con el vector $BA$. Luego, podemos mover $C$ al punto donde está $A$ con el vector $DA$.<br /><br />Ya gané.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.com