tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post6406970380260983348..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problema del día (26-06-2013) (Chiu)David (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger13125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-44716255994863874182013-06-28T02:34:44.449-05:002013-06-28T02:34:44.449-05:00Se me pasó comentar...
Creo que hice esto:
Para ...Se me pasó comentar...<br /><br />Creo que hice esto:<br /><br />Para el inciso $a$, sea<br /><br />\[a_{m}=\underbrace{11\ldots11}_{m}.\]<br /><br />Con eso, notemos que<br /><br />\[S\left(\left(n+1\right)a_{m}\right)=S\left(a_{m}\right)+S\left(na_{m}\right)-9x\]<br /><br />donde $x$ es la cantidad de dígitos $9$ en las primeras $m$ cifras de $na_{m}$. Claramente, queremos que<br /><br />\[S\left(na_{m}\right)\geq 9x\]<br /><br />pero esto es claro, pues $9x$ es la suma de los dígitos $9$ en las primeras $m$ cifras de $na_{m}$ y $S\left(na_{m}\right)$ es la suma de todas las cifras de $na_{m}$. Entonces<br /><br />\[S\left(\left(n+1\right)a_{m}\right)=S\left(a_{m}\right)+S\left(na_{m}\right)-9x\geq S\left(a_{m}\right)=m.\]<br /><br />Para el inciso $b$ usé que, si tomamos los $5^{2013}$ enteros positivos de $2013$ cifras, con todas sus cifras impares, estos son distintos $\pmod{5^{2013}}$ por lo que hay exactamente un múltiplo de $5^{2013}$ y acabamos.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/15538239396337135593noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-53393009827421793272013-06-28T02:33:21.058-05:002013-06-28T02:33:21.058-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/15538239396337135593noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-49287282736779856222013-06-27T00:40:27.429-05:002013-06-27T00:40:27.429-05:00(b) Fijémonos que para $5^x | y$, sólo los últimos...(b) Fijémonos que para $5^x | y$, sólo los últimos $x$ dígitos de $y$ importan. Ahora, Muestro que para todo $m$ existe un número de $m$ cifras, ninguna de las cuales es $0$, múltiplo de $5^m$, con inducción. $m=1$ sirve obviamente. Ahora, le llamo $C_m$ a un número de $m$ cifras no $0$ que es divisible entre $5^m$, para $1 \le m \le n$, demostraré que existe un número de $n+1$ cifras múltiplo de $5^{n+1}$, ¿no? Pues notemos que si defino la operacion & como a&b=ab, por ejemplo 16&76=1676, 88&555=88555, entonces $5^n | 1$&$C_n$, $3$&$C_n$,...,$9$&$C_n$, y $1\underbrace{0...0}_n$, ..., $9 \underbrace{0...0}_n$ son todos distintos mod $5^{n+1}$, por lo que alguno de esos $5$ números ($1$&$C_n$,...,$9$&$C_n$) será divisible entre $5^{n+1}$; y a ese lo definimos como $C_{n+1}$. Acabo. $\blacksquare$Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-31140071102545088692013-06-26T22:54:50.914-05:002013-06-26T22:54:50.914-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-62260898615894998222013-06-26T22:53:16.296-05:002013-06-26T22:53:16.296-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-13177792031015987452013-06-26T22:32:08.513-05:002013-06-26T22:32:08.513-05:00(a) Procedo por contradicción. Supongamos que exis...(a) Procedo por contradicción. Supongamos que existen múltiplos de $X_m=\underbrace{1\ldots 1}_m$ cuya suma de dígitos es menor a $m$. Defino $A$ el conjunto de los naturales múltiplos de $X_m$ cuya suma de dígitos es mínima, y defino $M$ el mínimo de $A$. Tomemos la expansión decimal de $M=a_1Ya_2Y\ldots Ya_kY$, donde los $a_i$ son los dígitos no $0$ y los $Y$ representan bloques (posiblemente nulos) de dígitos de 0. Defino la posición de un dígito como el número de dígitos que tiene a su derecha en $M$, más uno. Ahora, obviamente $k \le m-1$. Bueno, fijémonos que $a \underbrace{0...0}_m \equiv a$ (mod $X_m$), por lo que si "movemos" un dígito un número mútiplo de $m$ de posiciones, $M$ seguirá siendo múltiplo de $X_m$. Ahora, para el dígito $a_i$ defino $A_i=a_i0...0$, donde el número de 0's es menor a $m$ y congruente a la posición de $a_i$. Ahora, voy sumando las $A_i$, y cuando hay un acarreo lo hago, y si ocurre que el $m$-ésimo dígito es mayor a $9$, hago un acarreo "mod $m$", es decir, por ejemplo si en la $m$-ésima cifra tengo $9+9$, le sumo $1$ a la primera cifra y la última cifra la dejo en $8$. Eventualmente ya no habrá más acarreos (pues en cada acarreo la suma de los dígitos disminuye por $9$ al menos, y no puede disminuir infinitamente), y al número que queda le llamo $X$. $X$ tiene a lo más $m$ cifras, suma de dígitos menor a $m$, y es múltiplo de $X_m$. Contradiccion. Acabo. $\blacksquare$Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-21809742786498981482013-06-26T22:27:00.692-05:002013-06-26T22:27:00.692-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-77871671206623935022013-06-26T22:25:53.901-05:002013-06-26T22:25:53.901-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-60610994123497771642013-06-26T22:25:18.385-05:002013-06-26T22:25:18.385-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-34955386721311278962013-06-26T22:19:48.376-05:002013-06-26T22:19:48.376-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-12553660558020546252013-06-26T22:17:53.551-05:002013-06-26T22:17:53.551-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-60826768723990064102013-06-26T21:53:19.887-05:002013-06-26T21:53:19.887-05:00Problemas de cifras por si acaso ;)Problemas de cifras por si acaso ;)Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/15538239396337135593noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-90182358510237592712013-06-26T21:39:40.522-05:002013-06-26T21:39:40.522-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Juanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.com