tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post7811598838101280260..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Problema del dia 7 de SeptiembreDavid (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger7125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-53323077645885393862010-09-10T22:49:46.239-05:002010-09-10T22:49:46.239-05:00sustituimos $x=y=0$ y nos da que $f(0)=1$, (o que ...sustituimos $x=y=0$ y nos da que $f(0)=1$, (o que $f(0)=0$, pero si esto pasa al sustituir $x=0$, para todo valor de y $f(y)=0$, pero esto no cumple la ecuación). Sustituimos $x=2k, y=-k$ y nos da $f(2k)f(-k)=f(k)-2k^2$, luego sustituimos $x=k,y=-k$ y nos da $f(k)f(-k)=f(0)-k^2=1-k^2$, luego sustituimos$x=Y=k$ y nos da $(f(k))^2=f(2k)+k^2$, esta ultima ecuación la multiplicamos por f(-k)y sustituimos en ella las dos primeras y des pues de hacer unas cuentas llegamos a que $(f(k))^2=(k+1)^2$ de donde llegamos a que $f(k)=k+1<br />o f(k)=-(k+1)$DANIELIMOhttps://www.blogger.com/profile/02024822566397214634noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-30806801404444272642010-09-08T20:41:39.102-05:002010-09-08T20:41:39.102-05:00si x=0 entonces
f(0)f(y)=f(y) luego hay dos opcion...si x=0 entonces<br />f(0)f(y)=f(y) luego hay dos opciones, si f(y)=0 para toda y entonces<br />f identica a cero pero x=y=1 nos da contradiccion.<br />entonces hay al menos un valor que no da cero y tomamos ese valor de y<br />entonces como f(y)no es cero podemos dividir y queda<br />f(0)=1<br />Luego si hacemos y=-x<br />f(x)*f(-x)=f(0) - x^2 = 1 - x^2<br />si ponemos x=1, entonces<br />f(1)*f(-1)=0, entonces uno de f(1) y f(-1) es cero,<br />tomemos primero el caso f(1)=0 y el otro sera analogo.<br />si x=1 entonces f(1)f(y)=f(y+1)+y entonces si y=z-1<br />0=f(z)+z-1 y entonces f(z)=1-z para toda z, en el otro caso nos queda<br />f(z)=1+z para toda z, ahora vemos que esas dos funciones cumplen,<br />es claro que (1-x)(1-y)=1-x-y + xy<br />t qye (1+x)(1+y)=1+x+y +xy entonces esas f son las unicasFlaviohttps://www.blogger.com/profile/05534283841386385435noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-67939777510226114922010-09-07T13:24:43.768-05:002010-09-07T13:24:43.768-05:00Ponemos $x=y=0$ y entonces $f^2(0)=f(0)$ y entonce...Ponemos $x=y=0$ y entonces $f^2(0)=f(0)$ y entonces $f(0)=0$ o $f(0)=1$. Si $f(0)=0$ ponemos entonces $y=0$ y entonces sale $f(x)=0$ para todo $x$, pero esto no es posible si tomamos $x,y\neq 0$ nos queda la ecuación $0=xy$. Entonces $f(0)=1$. Ahora ponemos $1$ y $-1$ en la ec funcional<br />\[f(1)f(-1)=0\] y entonces $f(1)=0$ o $f(-1)=0$. Si $f(1)=0$ ponemos $x-1$ y 1 en la ec funcional y obtenemos $f(x)=1-x$.<br /><br />Por otra parte si $f(-1)=0$ ponemos $x+1$ y $-1$ en la ecuación y queda $f(x)=x+1$. Es fácil verificar que tanto $f(x)=x+1$ como $f(x)=1-x$ satisfacen la ecuación.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/05794432469421501329noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-22630972703869132632010-09-07T13:20:37.128-05:002010-09-07T13:20:37.128-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Anonymoushttps://www.blogger.com/profile/05794432469421501329noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-66624414930293382812010-09-07T00:39:02.199-05:002010-09-07T00:39:02.199-05:00Bien!!!Bien!!!rvaldezhttps://www.blogger.com/profile/05276599837433141781noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-65139277844302047602010-09-07T00:08:34.500-05:002010-09-07T00:08:34.500-05:00Veamos primero $x=y=0$, $f(0)^{2} = f(0) + 0$, $f(...Veamos primero $x=y=0$, $f(0)^{2} = f(0) + 0$, $f(0)^{2} = f(0)$, entonces tenemos 2 casos, $f(0) = 0$, o si no dividiendo de ambos lados por $f(0)$ tenemos $f(0) = 1$.<br />Si $f(0) = 0$ sustituyendo y=0, tenemos $f(x)f(0) = f(x) + 0$, $0 = f(x)$ para todo $x$. Pero si tenemos la funcion constante $0$, al tomar $x$, $y$ distintos de $0$, tendremos $f(x)f(y) = f(x+y) + xy$ y como la funcion es $f(x)=0$, entonces eliminando las $f's$ queda xy=0, pero nos tomamos $x$ y $y$ distintos de cero, contradiccion.<br />Entonces queda $f(0) = 1$, en donde haciendo una sustitucion $x=1$, $y=-1$ tendriamos $f(1)f(-1) = f(0) - 1$, $f(1)f(-1) = 0$, y entonces uno de $f(1)$ o $f(-1)$ es $0$.<br />Si $f(1) = 0$, entonces tomando $y=1$, tenemos $f(x)f(1) = f(x+1) + x$. $0 = f(x+1) + x$, $f(x+1) = -x$, y haciendo $z=x+1$ tendremos $f(z) = -z + 1$ para todo z real. Verificando esta solucion, tendremos $f(x)f(y) = f(x+y) + xy$, $(-x+1)(-y+1) = (-x-y+1) + xy$, $xy-x-y+1 = -x-y+1+xy$ y por lo tanto si funciona esta solucion.<br />Si $f(-1) = 0$, entonces tomando $y=-1$, tendremos $f(x)f(-1) = f(x-1) - x$, $f(x-1) - x = 0$, $f(x-1) = x$, tomando $z=x-1$ tenemos $f(z)= z+1$ para todo z real. Verificando la solucion en la ecuacion original $f(x)f(y) = f(x+y) + xy$, $(x+1)(y+1)=(x+y+1) + xy$, $xy+x+y+1=x+y+1+xy$ que si cumple. Por lo tanto las soluciones son:<br />$f(x) = -x + 1$<br />$f(x) = x + 1$ para todo $x$ real. FIN.Manuel Dosalhttps://www.blogger.com/profile/13095378459098544623noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-13403976043221566752010-09-07T00:04:03.318-05:002010-09-07T00:04:03.318-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Manuel Dosalhttps://www.blogger.com/profile/13095378459098544623noreply@blogger.com