tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post8378992905413266704..comments2023-06-29T04:02:58.043-06:00Comments on México rumbo a la IMO: Area blanca y negra, problema del día 23 de MayoDavid (sirio11)http://www.blogger.com/profile/13765612869477578855noreply@blogger.comBlogger5125tag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-53590078662771841852012-05-25T22:20:43.657-05:002012-05-25T22:20:43.657-05:00El inciso a) y b) lo hice igual que Adán.
Para el ...El inciso a) y b) lo hice igual que Adán.<br />Para el inciso c) ocupe triángulos de 3 por 2, y la pegaba en forma de diagonal, asi la diferencia se hacia tan grande como se quiera (debajo del lado de 2 de cada triángulo había dos columnas idénticas pero con los colores cambiados; además, cada triángulo estaba pintado de la misma manera y la diferencia no es 0).JulioChttps://www.blogger.com/profile/06667999572736030181noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-70302839915866589742012-05-25T22:19:34.384-05:002012-05-25T22:19:34.384-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.JulioChttps://www.blogger.com/profile/06667999572736030181noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-72869284574020057192012-05-24T21:47:27.724-05:002012-05-24T21:47:27.724-05:00Bueno, primero, es fácil ver que si $2$ divide a $...Bueno, primero, es fácil ver que si $2$ divide a $m-n$, entonces, si tomamos al triángulo recto $ABC$ con $\angle B=90$ y trazamos $D$ tal que $ABCD$ es rectángulo, entonces, o los $2$ lados serán pares o los $2$ serán impares.<br /><br />Por esto, tendremos que $ABCD$ será simétrico con respecto a un vértice con coordenadas enteras, o con el centro de un cuadrito de algún color. Entonces, $ABC$ y $CDA$ son congruentes, tienen una coloración o igual, por lo que $2f\left(m, n\right)=0, 1$ pues a diferencia de color en un rectángulo es $0$ o $1$, y entonces si $2$ divide a $m-n$ tendremos que<br /><br />$f\left(m, n\right)=0, \frac{1}{2}$.<br /><br />Ahora, veamos que en un triángulo de medidas $\left(2M\right) \times \left(2M+1\right)$ tendremos que la diferencia de área será $M$ menos<br /><br />$\frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+\left(2M\right)^{2}}{\left(2M\right)\left(2M+1\right)}$<br /><br />que es<br /><br />$M-\cdot \frac{4M+1}{6}=\frac{2M-1}{6}$<br /><br />que no está acotado. Para terminar, ya vimos que si ambos lados del rectángulo tienen la misma paridad, su $f$ vale a lo más $\frac{1}{2}$, y el menor valor posible del lado más grande en estos triángulos es $1$ y tenemos que<br /><br />$\frac{1}{2}\leq \frac{\max\left\{m, n\right\}}{2}$<br /><br />Falta ver que pasa cuando se tiene un triángulo con lados de distinta paridad. Observemos que si sus lados son $m, M$ con $M>m$ tendremos que $M\geq m+1$. Entonces, veamos que si partimos a este triángulo en uno de lados $m, M-1$ entonces obtendremos uno de lados de la misma paridad, y otro medio extraño, de área $\frac{m}{2}$ entonces tenemos que la $f$ de nuestro triángulo original es menor o igual a<br /><br />$\frac{1+m}{2}\leq \frac{M}{2}$ como queríamos, y acabamos los $3$ incisos.Adánhttps://www.blogger.com/profile/03649490685435834001noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-223255844155085332012-05-24T21:45:32.869-05:002012-05-24T21:45:32.869-05:00Este comentario ha sido eliminado por el autor.Adánhttps://www.blogger.com/profile/03649490685435834001noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-444408592833092365.post-46358523878488099652012-05-23T18:35:10.209-05:002012-05-23T18:35:10.209-05:00Denoto por bP y nP el área blanca y negra de una f...Denoto por bP y nP el área blanca y negra de una figura P. <br />(a) Si el triángulo es ABC, completo el rectángulo con ABCD y me fijo que ABC y ACD son congruentes e idénticos en cuanto a su coloración. Además, hay o 0 o 1 cuadrito negro más en ABCD que cuadritos blancos. Así, nABC=nACD, bABC=bACD, y nABC+nACD-bABC-bACD=0 o 1 y de aquí vemos que nABC-bABC=0 o 1/2.<br />(b) Supongamos que m y n son de diferente paridad. Me tomo un punto E en AB con AE=1 y entonces bEBC-nEBC=f(m-1,n) que es 0 o 1/2, Así, f(m,n) $\le$ 1/2+bEAC-nEAC $\le$ 1/2+(EAC)=max(m,n)/2.<br />(c) Supongamos m=2k+1, n=2k. Nos fijamos en la figura de (b) entonces es fácil calcular f(m,n), viendo que CE pasa sólo por negro, y entonces vemos que es (2k-1)/6 y ésto no está acotado. QEDJuanhttps://www.blogger.com/profile/14927223421557009771noreply@blogger.com