México rumbo a la IMO

Problema del día: Viernes 20 de Enero

2012-01-21T12:59:00.002-06:00

Por una confusión el problema de ayer se los pongo hoy:
Suponga que $(xy+1)(yz+1)(zx+1)$ es un cuadrado perfecto. Demuestre que $xy+1$,$yz+1$ y $zx+1$ son todos cuadrados perfectos.

Problema del Día: Jueves 19 de Enero de 2012

2012-01-19T01:09:00.003-06:00

Encuentre todos los números reales $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{2012} \geq 0$ que satisfagan el sistema de ecuaciones $x^2_{i+1} + x_{i+1}x_i + x_i^4 = 1$ para $i=0, 1, \ldots, 2012$, donde $x_{2013} = x_0$.

confirmaciones

2012-01-18T20:48:00.002-06:00

Hola a Todos

No han confirmado que asistiran al entrenamiento ni Alberto de Chihuahua ni
Adan de Jalisco. Lo que usualmente hacemos es bajarles puntos a los ultimos que confirman.

Problema del día: Geometría

2012-01-18T01:01:00.000-06:00

¡Perdón, se me pasó poner ayer el problema! Pero bueno, aquí está:

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ e incentro $I$. El excírculo $\omega _a$ toca a $AB, AC$ y $BC$ en $K, M$ y $N$, respectivamente. Demuestra que si el punto medio de $KM$ está sobre el circuncírculo de $ABC$, entonces $O, N$ e $I$ son colineales.

Problema del Día: Cantidad de casillas a las que puede llegar un caballo

2012-01-17T11:00:00.001-06:00

Supongamos que un caballo de ajedrez se encuentra en una casilla de un tablero infinito de ajedrez. Encuentra la cantidad de casillas a las que puede llegar con exactamente $n$ movimientos.

Examen #2: Competencia de Invierno

2012-01-16T21:30:00.000-06:00

Tiempo: 30 minutos Recuerden el codigo de honor !!!!!

1- El cuadrado

es un cuadrado multiplicativo mágico. Esto es, el producto de los numeros en cada renglon, columna y diagonal es el mismo. Si todas las entradas son enteros positivos, cual es la suma de los posibles valores de ?

2- Una sucesión de enteros no negativos esta definida como para . Si , y , Cuantos valores diferentes para son posibles?

3- Sean , , , ... , . Encontrar el valor de ?

4- Ocho esferas de radio 1, una por octante, son tangentes a los planos coordenados. Cual es el radio de la esfera mas pequeña, con centro en el origen, que contiene a estas 8 esferas?

5- Sean , distintos elementos en el conjunto

Cual es el mínimo valor posible de

6- Un entero positivo tiene divisores y tiene divisores. Cual es el entero mas grande tal que divides ?

7- Todos los estudiantes en una clase tomaron un examen de puntos. Cinco estudiantes obtuvieron , cualquier estudiante obtuvo al menos , y la media fue . Cual es el numero mas pequeño posible de estudiantes en la clase?

8- En la sucesión , , , , cada termino después del tercero se encuentra restando el termino anterior de la suma de los 2 anteriores a ese. Por ejemplo, el 4o. termino es . Cual es el termino de la sucesión ?

9- En el , , , y . Los puntos y están en y , respectivamente, con . y están en de manera que y son perpendiculares a . Cual es el área del pentágono ?

10- El primer termino de una sucesión es . Cada termino subsecuente es la suma de los cubos de los digitos del termino anterior. Cual es el termino de la sucesión?

11- El triangulo isósceles tiene un angulo recto en . El punto esta dentro de , tal que , , y . Lados y tienen longitud , donde y son enteros positivos. Encontrar ?

12- Dado que es un numero de dígitos cuyo primer dígito es , Cuantos elementos de el conjunto tienen 4 como primer dígito?

Competencia de Invierno

2012-01-16T20:58:00.002-06:00

La competencia de invierno del día de ahora sera a las 9:30PM para que estén pendientes.

Aviso para nuevos usuarios del blog

2012-01-13T17:22:00.005-06:00

Esto va para los que no habían utilizado antes el blog:

1. Lo que se utiliza para escribir formulas y expresiones matemáticas es $\LaTeX$. Si no saben usarlo aquí les paso una guía: http://a-la-imo.blogspot.com/2010/08/guia-para-usar-latex.html

2. Utilizar los simbolos de '>' y '<' causa conflictos y hace que se borren partes de comentarios y posts. Así que traten de evitar el uso de estos caracteres. Para expresar menor o mayor estricto usen los comandos de $\LaTeX$ \textless y \textgreater ($\textless$ $\textgreater$).

3. Les recomiendo antes de postear algun comentario copiar y pegarlo aparte. No se pueden editar comentarios, por lo que si se equivocan tienen que borrar el comentario anterior, y ponerlo otra vez.

4. Algunos administradores tienen la capacidad de ver los comentarios borrados.

EDIT:
5. Hay problemas para usar $\LaTeX$ con Internet Explorer, recomiendo el uso de Firefox o de Chrome.

Por lo pronto es todo.

Isaí Vázquez

Problema del jueves de números

2012-01-13T13:56:00.004-06:00

Se me pasó postear el problema ayer. El problema es el siguiente: Considere una circunferencia centrada en el origen y radio $2^{2011}$. Cuantos puntos con coordenadas enteras están sobre la circunferencia? Y si el radio es $3^{2011}$? Y si es $2011^{2011}$? Y en general para cualquier radio de la forma $p^{2011}$ con p primo?

Problema del Dia: Viernes 13 de enero Algebra

2012-01-12T22:44:00.006-06:00

Determina si existen dos funciones
$f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todos
$x \neq y$ la siguiente desigualdad se tiene:

$$ \mid f(x)- f(y) \mid + \mid g(x) - g(y) \mid > 1.$$

Problema del día

2012-01-11T17:42:00.000-06:00

¡Hola a todos! Les dejo el primer problema del día de Geometría.

Sea $ABC$ un triángulo y $A_1$ el punto de contacto del excírculo correspondiente a $A$ con $BC$. Denotemos por $a$ a la recta que pasa por $A_1$ y es paralela a la bisectriz de $\angle BAC$. Definimos $b$ y $c$ de manera similar. Demuestra que $a, b$ y $c$ concurren.

Problema del Día: Objetos de tres tipos

2012-01-10T09:59:00.003-06:00

Hola a todos. Espero que estén empezando el año nuevo bien y que les haya gustado la dinámica de la competencia de invierno. Este es el primer problema del blog de combi. Recuerden que comentar en estos problemas cuenta como parte de su calificación.

Se tienen $2n$ objetos de tipo $A$, $2n$ de tipo $B$ y $2n$ de tipo $C$. Se quieren repartir entre dos personas (de modo que a cada quien le toquen $3n$). Muestra que esto se puede hacer de $3n^2+3n+1$ formas.

1er Examen Competencia de invierno 2012

2012-01-09T20:44:00.002-06:00

Tienen 30 minutos !!!! Recuerden el codigo de honor !!!!

1- Cuantos capicuas de  dígitos se pueden formar usando los dígitos , , , , , , ?

2- Puntos distintos , , ,  yacen en una linea, con . Puntos  and  yacen en una segunda linea, paralela a la primera, con . Un triangulo con area positiva tiene 3 de los 6 puntos como sus vertices. Cuantos posibles valores hay para el area del triangulo?

3- Rectángulo  tiene  y .  es el punto medio de la diagonal , y  esta en  con . Cual es el área de ?

4- Triangulo  tiene un angulo recto en , , and . The bisector of  meets  at . What is ?

5- Cual es el residuo cuando  es dividido por 8?

6- Para cada entero positivo , sea . Cual es la suma de todos los valores de  que son números primos?

7- El conjunto  esta definido por los puntos  con coordenadas enteras, , . Cuantos cuadrados de lado al menos  tienen sus 4 vértices en ?

8- Cuantos enteros pares de 3 digitos tienen la propiedad de que sus digitos leidos de izquierda a derecha, estan en orden estrictamente creciente?

9- Circulos con centros y tienen radios 2 y 4, respectivamente, y son tangentes exteriormente. Puntos y estan en el circulo con centro en , y los puntos y estan en el circulo con centro en , tal que y son tangentes externas comunes a los circulos. Cual es el area del hexagono ?

10- Un objeto en un plano, se mueve de un punto latice a otro. En cada paso, el objeto se puede mover una unidad a la derecha, una unidad a la izquierda, una unidad arriba, o una unidad abajo. Si el objeto empieza en el origen y toma un camino de 10 pasos, cuantos puntos diferentes pueden ser el punto final?

11- Sean , , enteros positivos con , y , donde y son enteros y no es divisible por . Cual el el mas pequeño valor posible de ?

Muchas felicidades a todos los concursantes y entrenadores que acaban de hacer de este 2011 un año historico

2011-09-30T00:31:00.001-05:00

Problema del lunes en martes

2011-09-20T09:57:00.001-05:00

Ayer olvidé poner problema. Pero aquí están estos:1) Let S be a set of n persona such that: (i) any person is acquainted with exactly k other persons in S; (ii) any two persons that are acquainted have exactly l common acquaintances in S; (iii) any tío persons that are not acquainted have exactly m common acquaintances in S.Prove that m(n-k) - k(k-l) + k - m = 0.2) Let a_1 <= a_2 <= ... <= a_n = m be positive integres. Denote bu b_k the number of those a_i for which a_i >= k. Prove that a_1 + a_2 + ... + a_n = b_1 + b_2 + ... + b_m.3) Let n be an odd integre greater than 1 and let c_1, c_2, ..., c_n be integers. For each permutation a = (a_1, a_2, ..., a_n) of {1, 2, ..., n}, define S(a) = sum of (c_i)(a_i) from i=1 to n.Prove that there exist not equal permutations a and b of {1, 2, ..., n} such that n! is a divisor of S(a) - S(b).

Problema del dia, Algebra

2011-09-14T23:11:00.002-05:00

Un poco tarde, pero todavia es miercoles, asi que aqui les va el problema del dia de algebra.

Sea $d$ un entero positivo. Muestra que para cada entero $S$, existe un entero $n >0$
y una sucesion $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, donde para cualquier $k$, $x_k=1$ o
$x_k=-1$, tal que

$$S= x_1 (1+d)^2 + x_2 (1+2d)^2 + x_3(1+3d)^2 + \dots + x_n (1+nd)^2.$$

Dos de Algebra(Diego)

2011-09-14T19:56:00.009-05:00

Pondre dos problemas de algebra

1.Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$ tal que $a+b+c=3$. Demostrar

$$ \sum_{cyc} \frac{a}{1+(b+c)^2}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$$

2. Sea $f(x)\in \mathbb Z[x] $ un polinomio monico de grado $2$, sin raices reales, tal que $|f(0)|$ es libre de cuadrados y diferente de $1$. Demuestra que para cualquier $n\in \mathbb Z$, $f(x^n)$ es irreducible en $\mathbb Z[x] $.

Problemas del dia 13 de septiembre

2011-09-13T18:57:00.004-05:00

Ahí les van unos problemas sencillones, para entrenar un poco de algebra.
1.- Sea $P(x)$ un polinomio mónico cuadrático, tal que $P(x)$ y $P(P(P(x)))$ tienen una raíz en común. Demuestra que $P(0)*P(1)=0$.
2.-Sea $f(x)=x^2+2007x+1$. Demostrar que para todo entero $n$ la ecuación $f^n(x)=0$ tiene al menos una solución real.
3.-Demuestra que para todos los enteros $a>1$ y $b>1$ existe una función $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos tal que
$f(a\cdot f(n))=b\cdot n$ para todo $n$.

Lema de Geo

2011-09-13T18:50:00.003-05:00

Aquí pongo un lema que me ha servido en varios problemas "recientes", tal vez ya se lo sepan.

Lema: Sea $ABC$ un triángulo, $X,Y$ los puntos donde el incírculo toca a $AC$ y $AB$ respectivamente, $M$ el punto medio de $CB$, $T$ la circunferencia de diámetro $CB$. Entonces $XY$, la bisectriz del ángulo en $C$, $T$ y la paralela por $M$ a $AC$ concurren.

problema de lunes

2011-09-12T21:46:00.002-05:00

Encuentra todos los enteros de la forma 2^n (donde n es un entero positivo) con la propiedad de que, después de eliminar el primer dígito de su representación decimal, obtengamos nuevamente una potencia de 2.

Problema del día.

2011-09-12T21:25:00.004-05:00

Dados $n\geq 4 $ puntos en el plano de tal manera que la distancia entre cualesquiera dos de ellos es un entero, demuestra que al menos $\frac{1}{6}$ de estas distancias son divisibles entre 3.

2011-09-10T18:05:00.001-05:00

¡A Diego le toca poner problema los miércoles que quedan!

Problema del Viernes

2011-09-09T09:35:00.006-05:00

Bueno, como Irving no me puso dia, voy a agarrar el viernes:
Sean $b, m, n$ enteros positivos con $b \textgreater 1$ y $m \neq n$.
Suponga que $b^m-1$ y $b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos.Pruebe que $b + 1$ debe ser potencia de 2.

Problema Combi

2011-09-06T22:33:00.003-05:00

Un triángulo de lado $3000$ se divide en $3000^2$ triángulos equiláteros de lado $1$. Los vértices de estos triángulos se colorean con tres colores. Muestra que hay tres vértices del mismo color que son los vértices de un triángulo equilátero con los lados paralelos al triángulo original.

problema del dia 6 de septiembre (Jorge)

2011-09-06T17:57:00.004-05:00

Aquí pongo problemas de un estilo a mi parecer típico de la ibero y poco standard en México.

Procuré ponerlos en orden de dificultad.

1.- Encuentra el mayor entero $n$ tal que existen puntos $P_1, P_2,...P_n$ en el plano y reales $r_1, r_2,... r_n$ tal que la distancia entre $P_i$ y $P_j$ es $r_i+r_j$ para todo $i,j$.

2.- Sea $n\geq 2$ un entero y $D_n$ el conjunto de los puntos latiz $(x,y)$ en el plano con $-n\leq x\leq n$, $-n\leq y\ n$.

a) Cada uno de los puntos de $D_n$ se pinta de uno de tres colores. Demuestra que sin importar la coloración existen dos puntos de $D_n$ con el mismo color tal que la recta que los contiene no pasa por ningún otro punto en $D_n$.

b)Encuentra una manera de pintar $D_n$ utilizando cuatro colores tal que toda recta que pase por dos puntos del mismo color pase por al menos tres puntos en $D_n$.

3.- Encuentra todas las $n$ mayores a $3$ tales que existen puntos $P_1,P_2,...P_n$ en el plano (no tres de ellos colineales) y reales $r_1,r_2,...r_n$ tales que el área del triángulo $P_iP_jP_k$ es $r_i+r_j+r_k$.

4.- Sea $s<\frac{1}{2}$ un real positivo. Demuestra que es imposible cubrir un cuadrado unitario con cinco cuadrados iguales de lado $s$.

problema de lunes

2011-09-05T23:03:00.002-05:00

es un problema sencillo con un resultado que puede ser útil:

Sea M un punto en el interior del triángulo equilátero ABC y sean A', B', y C' sus proyecciones sobre los lados BC, CA, y AB, respectivamente. Puebe que la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos MAC', MBA' y MCB' es igual a la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos MAB', MBC' y MCA'.

Geometría

2011-09-01T00:01:00.002-05:00

Sea $\Delta ABC$ un triángulo de ortocentro $H$ y sea $P$ un punto en su circuncírculo, distinto de $A,B,C$. Sea $E$ el pie de la altura desde $B$. Sean $PARC$ y $PAQB$ paralelogramos, y sea $X$ la intersección de las rectas $AQ$ y $RH$. Pruebe que $AP||EX$.

Problema del dia, Algebra

2011-08-31T11:54:00.007-05:00

Muestra que si $0 < r < 1$ y si los numeros complejos $z_1$, $z_2$, $z_3$, $\dots$, $z_n$ estan en el disco $D=\{z : \vert z \vert \leq r\}$, entonces existe un $z_0 \in D$ tal que
$$\prod_{j=1}^{n} (1+z_j) = (1+z_0)^n.$$

Problema del día 29 de Agosto.

2011-08-29T22:21:00.003-05:00

Sea $D$ el punto medio de la base $AB$ del triángulo isósceles acutángulo $ABC$. Elegimos un punto $E$ en $AB$, y sea $O$ el circuncentro de $ACE$. Demuestra que la línea por $D$ perpendicular a $DO$, la perpendicular a $BC$ que pasa por $E$ y la paralela a $AC$ que pasa por $B$ concurren.

¡No me han dicho qué días van a poner sus posts! Si no me avisan en la semana, yo les asigno el día a cada uno.

Geometría

2011-08-25T02:23:00.003-05:00

Sea $\Delta ABC$ un triángulo acutángulo con $BC>AC$. Sean $O$ su circuncentro, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $C$. Sea $P$ el punto de intersección de la perpendicular a $OF$ por $F$ con el lado $AC$. Pruebe que $\angle FHP=\angle BAC$.

Problema del día (álgebra): Polinomio irreducible rumano

2011-08-24T12:47:00.002-05:00

Demuestra que para todo entero positivo $n$ el polinomio $f(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ no puede ser escrito como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Triángulos etiquetados

2011-08-23T17:33:00.002-05:00

Un triángulo equilátero se divide en $25$ triángulos iguales etiquetados de $1$ a $25$. Muestra que se pueden encontrar dos triángulos que tienen un lado en común cuyas etiquetas difieren en más de $3$.

Problema del día 22 de Agosto.

2011-08-22T22:04:00.005-05:00

Sean $k, t\in \mathbb{N}$, $k,t,\ge 2$, primos relativos. Comenzamos con la permutación $(1,2,...,n)$ y podemos intercambiar de lugar dos enteros si su diferencia es $k$ o $t$. Demuestra que con es posible obtener cualquier permutación de $1,2,...,n$ aplicando cambios permitidos si y sólo si $n\geq k+t-1$.

Entrenamiento para la Ibero

2011-08-22T21:52:00.003-05:00

¡Hola a todos! A partir de hoy vamos a retomar el trabajo en el blog para entrenar para la próxima Ibero. El plan es que, como antes, se les ponga a la semana al menos un problema de cada área y que ustedes comenten sus soluciones o lo que llevan del problema. Al parecer funcionó bien la mecánica de que cada uno de los que entrenaron para la IMO pusiera un post cada semana, así que haremos lo mismo en esta ocasión. Entonces, nada más les pido a los cuatro que entre ustedes se pongan de acuerdo qué día quieren y me avisen mañana o pasado. Apenas nos estamos organizando para ver quién les pone problemas cada día, cuando sepa ya bien les aviso.

Y pues, ¡empezamos! ¡Ánimo a todos, recuerden que la meta de este año no es nada menos que la mejor Ibero de la historia de México!

2011-08-21T22:53:00.001-05:00

Cuando empezaran a poner problemas?

Sexto entrenamiento - selectivo de ibero

2011-08-03T23:04:00.000-05:00

Hola a todos

Les he mandado un correo acerca del siguiente entrenamiento del 11 al 21 de agosto en la UAEM, Cuernavaca Morelos

A unas horas...

2011-07-17T23:39:00.002-05:00

Hola a todos

Ya a unas horas del primer examen...

A hacer historia muchachos, ustedes son capaces, no me hagan quedar mal,
yo he dicho publicamente que creo que son mejor delegacion que la del 2006! y por ende
la mejor de Mexico en una IMO.

Método "uvw"

2011-07-10T22:14:00.004-05:00

Aquí pongo un artículo que me encontré hace unos días resolviendo este problema "http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1974763&sid=9d5906bdcf48f767086bb648c2cc9fd4#p1974763" es buen método para usar cuando las ideas se acaban a la hora de intentar una desigualdad, de hecho el problema que mencioné salía trivial usándolo. Aquí está el link de donde pueden descargar el artículo "http://www.mediafire.com/?wmyw0wzmwtw".

Problema del día martes

2011-07-05T22:17:00.002-05:00

Encontrar todas las funciones suprayectivas tales que van de los naturales a los naturales y que para todos los m,n naturales y p primo, se cumple que p divide a f(m+n) si y solo si p divide a f (m)+f(n)

Técnicas de estudio

2011-07-05T13:22:00.003-05:00

Este post va dirigido principalmente a los más experimentados (es decir Leo, Fer, Gato, Niño, Panda, Rogelio, etc) aunque me gustaría escuchar la opinión de todos. En estos últimos días previos a la IMO ¿cuál es la manera más recomendable de entrenar?, y con manera me refiero a: tiempos, tipos de problemas (de short list, ibero, baltic way, etc), temas, teoría, ejercicios, y sobre todo al tema del descanso, ¿es recomendable no entrenar en los días previos a la competencia? si sí ¿cuántos días de descanso están bien?.

@Niño: Me quedé con tu libro de teoría de números, te estuve buscando los últimos días y al final pensé en darselo a alguien de Colima pero se me olvidó. ¿Crees que te lo pueda mandar con alguien de aquí del D.F o que vaya a ir a la IMO?

Problemas del 2 de julio (Jorge)

2011-07-02T23:06:00.005-05:00

Me he dado cuenta que varios problemas de Short List, especialmente de algebra, salen con ideas que tienen que ver con los infinitos. Por ejemplo, es muy común ver que cierta cosa se puede acercar o alejar tanto como se quiera de un valor dado, o que podemos repetir un proceso tantas veces como queramos, etc.

Aquí pongo una lista de problemas representativos de dichas ideas:

1.- Considera las funciones $f$ que van de los naturales en los naturales y satisfacen la condición:
$f(m+n)\ge f(m)+f(f(n))-1$
Para todo $m,n$.
Encontrar todos los posibles valores de $f(2007)$.

2.-Encuentra tods las funciones $f$ que van de los reales en los reales y que cumplen que:
$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$
Para todo los reales $x,y$

3.- Sea $a_o, a_1, a_2 ...$ una secuancia infinita que cumple $a_{n}=[a_{n+1}-a_{n+2}]$ para todo $n$, y tal que $a_0$ es distinto de $a_1$, y en donde $[x]$ representa el valor absoluto de $x$
¿La secuamcia $a_0, a_1, a_2 ...$ puede estar acotada?

4.- Sea $r\ge 2$ un entero, sea $F$ una familia infinita de conjuntos, cada uno de cardinalidad $r$, tal que cualesquiera dos conjuntos en $F$ se intersectan. Demuestra que existe un conjunto de cardinalidad $r-1$ que intersecta a cada conjunto en $F$.

5.-Encuentra todas las funciones $f$ de los enteros positivos en los enteros positivos, que cumplan que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ existe un triángulo no degenerado con lados:

$a, f(b)$ y $f(b+f(a)-1)$.

Problema de 1 Julio (Daniel)

2011-07-01T13:24:00.002-05:00

Sean a, b, x, y, z reales positivos. Demuestra que

$\frac{x}{ay + bz}+ \frac{y}{az + bx}+ \frac{z}{ax + by} \ge \frac{3}{a + b}$

Problema del día (Georges)

2011-06-27T16:45:00.001-05:00

Un triángulo es dividido por sus 3 medianas en 6 triangulos mas pequeños. Demuestra que los circuncentros de estos 6 triangulos son conciclicos.

PROBLEMA DEL DIA: 16 DE JUNIO (MANUEL)

2011-06-17T20:33:00.005-05:00

Ayer ya no pude ponerlo, pero aquí ya está:

Prueba que para toda terna a, b, c de reales positivos se cumple la desigualdad siguiente:

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq1$

Problema del Miercoles (Diego)

2011-06-15T12:42:00.002-05:00

Sea $\tau(n)$ el numero de divisores positivos de $n$. Determina cuales enteros positivos $m$ se cumple que existe un entero positivo $n$ tal que $$\frac{\tau(n^2)}{\tau(n)}=m$$.

Preparen un tema para el entrenamiento

2011-06-15T12:26:00.000-05:00

Hola, primero que nada, quiero felicitarlos por el excelente trabajo que han estado haciendo en el blog, es claro que están motivados y van con todo a la IMO, sigan así, ya falta poco.

Para este entrenamiento en Colima, quizás haya alguna sesión donde uds serán los expositores, así que preparen algún tema de su predilección, no importa si es teoría o algún problema interesante, solo que sea algo que crean les pueda servir a sus compañeros, preparen algo de un mínimo de 1 hora y un máximo de 2 horas, yo creo si tendremos tiempo para que todos expongan, así que preparen algo interesante, pensando como entrenadores.

Bueno, nos vemos en unos días en Colima !!

Panda

Problema del dia

2011-06-14T15:53:00.002-05:00

Para que enteros positivos $k$, es verdad que hay infinitas parejas de enteros positivos $(m, n)$ tales que $\frac{(m+n-k)!}{m!n!}$ es un entero.

Problema del día

2011-06-13T14:07:00.000-05:00

Encuentra todas las funciones no decrecientes $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ tal que:
$ f(0) = 0, f(1) = 1; $
$ f(a)+f(b) = f(a)f(b)+f(a+b-ab) $ para todos los reales $a,b$ tales que $ a < 1 < b $

Problema del día sábado 11 de junio (Jorge)

2011-06-11T20:25:00.004-05:00

Sea $a_0, a_1, a_2...$ una secuencia infinita de reales positivos. Demuestra que la desigualdad $1+a_n>a_{n-1}\sqrt[n]{2}$ es cierta para una infinidad de naturales $n$.

Problema del 10 de junio (Daniel)

2011-06-10T18:53:00.002-05:00

Se marcan algunas casillas de un tablero de $(n^2+n+1)$x$(n^2+n+1)$. Si no hay cuatro casillas marcadas que formen un rectángulo de lados paralelos a los de la cuadrícula, demostrar que el número de casillas marcadas no excede $(n+1)$x$(n^2+n+1)$.

PROBLEMA DEL DIA: 09 DE JUNIO (MANUEL)

2011-06-09T18:26:00.002-05:00

Ambos de la shortlist IMO 1991

1) Sea ABC un triángulo y P un punto en su interior. Muestra que alguno de los ángulos PAB, PBC y PCA es menor o igual a 30°.

2) Dado un triángulo ABC, sea I su incentro. Las bisectrices internas de los ángulos A, B, C intersectan a los lados opuestos en D, E y F, respectivamente. Muestra que $\frac{1}{4}<\frac{AI*BI*CI}{AD*BE*CF}\leq \frac{8}{27}$

Entrenamiento

2011-06-08T23:44:00.002-05:00

Hola a todos

El entrenamiento para los IMO sera del 18 al 26 de junio en Colima.

Saludos

Rogelio

Problema del Miercoles (Diego)

2011-06-08T18:58:00.004-05:00

Sea $c>2$, y sea $a(1), a(2), \cdot $ una secuencia de reales no negativos tal que
\[ a(m+n)\leq 2\cdot a(m)+2\cdot a(n)\forall m,n\geq 1, \]
y $\displaystyle a\left(2^{k}\right)\leq\frac{1}{(k+1)^{c}}\forall k\geq 0.$ Demuestra que existe un $M\in\mathbb{R}^+$, tal que $M\geq a(n)\forall n\geq 0$.

Problema del día (Georges)

2011-06-06T23:31:00.002-05:00

Encuentra todas las fuciones $ f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+} $ que tienen la propiedad \[ f\left(x\right)f\left(y\right) = 2f\left(x+yf\left(x\right)\right) \] para todos los números reales $x$ y $y$

Varios problemas del día (Centros)

2011-06-06T19:21:00.003-05:00

1) En la escuela de Octavio, la maestra de matemáticas puso el siguiente problema: Se tiene una primera lista de números $L_1=\{1,2,3,...,2006\}$. La lista nueva se hace poniendo las sumas y las restas de cada pareja de números en la lista anterior. Sea $A_n$ la suma de los números en la $n$-ésima lista $L_n$ y sea $B_n$ la cantidad de números en la $n$-ésima lista $L_n$. Muestra que 2$A_{2008}B_{2009}=3A_{2009}B_{2008}$.

Juan no sabe si los números repetidos en la lista se cuentan una o varias veces, entonces decide preguntar a la maestra. Ella responde que no importa, pues en ambos casos el problema es cierto. Demuestra que la maestra tiene razón.

2)En un triángulo $ABC$ con circuncentro $O$, se definen los puntos $O_A,O_B,O_C$ como los circuncentros de los triángulos $OBC$, $OCA$ y $OAB$, respectivamente. Determinar condiciones necesarias y suficientes en el triángulo $ABC$ para que $O_AO_BO_C$ sea un triángulo equilátero.

3) Se tiene un triángulo equilátero de lado $n$ dividido en $n^2$ triangulitos equiláteros de lado 1 de la forma usual. Se quiere colocar tres fichas, cada una en casillas distintas, de manera tal que no haya dos casillas vecinas con ficha. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Dos casillas son vecinas si comparten un lado y dos acomodos se consideran distintos aunque uno pueda obtener el otro rotando o reflejando)

4) Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida de la siguiente forma:

\[a_1=1\\\ a_2=1,\\\ a_3=2,\\\ a_{n+3}=a_{n+2}+a_n.\]

Probar que para todo entero positivo $n$ existen enteros positivos $i,j,k,m$, no necesariamente distintos, tales que $a_{2n}=a_i^2+a_j^2+a_k^2-a_m^2$.

LATEX e IMO's

2011-06-06T15:23:00.001-05:00

¿Cómo puedo instalar LATEX a un blog? Agradecería mucho que alguien me dijera.

¿Ya saben cuando y donde tendremos entrenamientos los IMO's?

Conocimiento común

2011-06-04T20:06:00.004-05:00

a) Fer y Leo juegan un juego. Fer tiene un real positivo $a$ escrito en la frente y Leo tiene un real positivo $b$ escrito en la frente. Así que Fer conoce $b$ pero no conoce $a$ y viceversa con Leo. Panda escribe dos números en el pizarrón, de tal manera que uno de ellos sea $a+b$ y que Leo y Fer no sepan cuál de ellos es $a+b$. Además no se pueden comunicar entre ellos.

Cada hora Panda suena una campana y pregunta si alguno de los dos ya sabe cuánto vale $a+b$ si nadie responde afirmativamente continúa el juego (no pueden mentir).

Supón que Leo y Fer son inteligentes :) y que ambos saben que el otro es inteligente, además supón que el lapso entre cualesquiera dos campanadas les da suficiente tiempo para hacer todos los razonamientos necesarios.

Demuestra que después de un número finito de campanadas alguno de los dos conocerá su número.

b) Generalízalo para cuando hay $n$ personas cada una con un real positivo escrito en la frente, en el pizarrón hay $n$ números donde uno de ellos es la suma de los $n$ números de las personas. Haz las mismas suposiciones que para el caso $n=2$

Problemas del día sábado 4 de junio (Jorge)

2011-06-04T14:52:00.003-05:00

Sea $P$ uno de los puntos de intersección de dos circunferencias con centro $O_1$ y $O_2$, una tangente común toca a los círculos en los puntos $A$ y $B$. La perpendicular desde $A$ a la recta $BP$ intersecta a $O_{1}O_{2}$ en $C$. Demuestra que $AP$ es perpendicular a $PC$.

Problema del 3 de Junio (Daniel)

2011-06-03T14:34:00.003-05:00

Sean a,b,c números reales positivoscon abc=1. Prueba que:

$1+ 3/(a+b+c) \ge 6/(ab+bc+ca) $

PROBLEMA DEL DIA: 02 DE JUNIO (MANUEL)

2011-06-02T22:13:00.003-05:00

1) ¿Es posible encontrar un entero N tq si a y b son enteros a la misma distancia de N/2 (es decir, N/2-a=b-N/2) y que exactamente uno de a o b puede ser escrito como 19m+85n para algunos enteros positivos n,m?

2) Hay 1985 personas en un cuarto. Cada una habla a lo más 5 lenguajes. Dadas cualesquiera 3 personas, almenos dos de ellas tienen un lenguaje en común. Prueba que hay algún lenjuaje hablado por almenos 200 personas.

3) Dado un triángulo ABC, sea P un pto dentro de él. Sean D, E, F las proyecciones de P en BC, AC y AB, respectivamente. Si $AP^{2}+PD^{2}=BP^{2}+PE^{2}=CP^{2}+PF^{2}$. Muestra que P es el circuncentro del triángulo formado por los excentros del triángulo ABC.

4) Dados reales positivos a,b,c; encuentra las soluciones (x,y,z) para las ecuaciones $ax+by=(x-y)^{2},\:by+cz=(y-z)^{2},\:cz+ax=(z-x)^{2}$

El tercero es un IMO no tan dificil, pero quiero ver si a alguien se le ocurre alguna slución con las isogonales de Jacobi que puso Jorge el otro día, porque presenta la construcción de ese teorema.
El cuarto no he podido hacerlo.

Problema del dia: 2 de Junio (Centros)

2011-06-02T15:51:00.000-05:00

Encuentra un conjunto infinito de enteros positivos, tal que la suma de cualquier numero finito de elementos distintos del conjunto no es un cuadrado.

Entrenamiento

2011-06-01T22:40:00.000-05:00

Ya tienen el lugar y los dias oficiales del entrenamiento de los imo's?

Problema del día 31 de MAyo (Centros)

2011-05-31T19:50:00.003-05:00

En un triángulo $ABC$, el punto medio de $BC$ es $L$. La bisectriz de $\angle CLA$ corta a $AC$ en $M$ y la de $\angle BLA$ corta a $AB$ en $N$. El circuncírculo de $LMN$ corta de nuevo a $AL$ en $X$ y a $BC$ en $Y$. La recta $XY$ corta a las rectas $LM$ y $LN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que $NP$ y $MQ$ son perpendiculares.

Problema del Miercoles (Diego)

2011-05-31T19:45:00.002-05:00

Mañana probablemente estaré ocupado, así que pondré el problema hoy.

Tenemos una maquina que le cambia el cerebro a dos personas. Pero tiene un problema, entre dos cuerpos nada mas puede cambiarles el cerebro una vez.

Un centro de investigación de neurología utiliza $M$ veces la maquina en un grupo de $N$ personas, antes de darse cuenta del problema. Para resolver el problema deciden contratar a $p$ personas para usarlos en el intercambio de cerebro para que todos los cerebros terminen en su cuerpo. Dado que estas personas nunca han usado la maquina, cual es el menor $p$ con el que pueden asegurarles a las personas que las pueden devolver los cerebros a sus cuerpos originales (incluyendo a las $p$ personas)

Problema del martes (Flavio)

2011-05-31T17:53:00.001-05:00

Un número se llama amable si se puede escribir como $m + (m + 1) + ... + (n - 1) + n$ para enteros positivos con $m$ menor a $n$. Por ejemplo: 18 es amable, ya que 18 = 5 + 6 + 7. Un número se llama potencia de dos si se puede escribir como $2^l$ para algún entero $l\ge0$.
(a) Demostrar que ningún número es a la vez amable y una potencia de dos.
(b) Demostrar que todo entero positivo es amable o una potencia de dos.

Problema del Lunes 30 de Mayo (Georges)

2011-05-31T13:18:00.003-05:00

Aqui esta un día atrasado.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $x,y$ tales que $x+y+1$ divide a $2xy$ y $x+y-1$ divide a $x^2+y^2-1$

Problema del dia Lunes 30 de Mayo (Centros)

2011-05-30T08:08:00.001-05:00

Una representación chida de un entero positivo n, es una representación de n como suma de potencias de 2, con cada potencia apareciendo a lo mas 2 veces.
Por ejemplo, 5 = 4 + 1 = 2 + 2 + 1.
Cuales enteros positivos tienen un numero par de representaciones chidas?

Lema para polinomios cuadráticos

2011-05-29T19:13:00.005-05:00

Me di cuenta que el problema 1 que puse se puede generalizar en un lema que se ve muy fuerte.

Aquí lo pongo para quien quiera intentar demostrarlo.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $2$ con coeficientes enteros. Demuestra que existen una infinidad de primos $p$ tal que $P(n)$ es múltiplo de $p$ para algún entero $n$.

Problemas del día sábado 28 de mayo (Jorge)

2011-05-29T18:46:00.007-05:00

Me quedé sin internet y por eso no subí ayer el problema del día.

En la semana me encontré con algunos problemas que están relacionados con la distribución de los primos y me parecieron interesantes. Aquí los pongo en orden de dificultad (según yo):

1.- Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que existen $n$ enteros $k_1, k_2\ldots k_n$ mayores que uno y primos relativos por parejas, tales que el número $k_1k_2\ldots k_n-1$ se puede expresar como producto de dos enteros consecutivos.

2.- Decimos que una pareja ordenada $(m,n)$ es una pareja chilanga si $n>m>1$ y cumple que $m$ tiene los mismos divisores primos que $n$ y $m+1$ tiene los mismos divisores primos que $n+1$. Demuestra que existen una infinidad de parejas chilangas.

3.-Sea $n$ un entero positivo, definimos $f(n)$ como el número de primos distintos que dividen a $n$. Demuestra que existen una infinidad de enteros positivos $m$ tal que $f(m+2)>f(m+1)>f(m)$.

4.- Para todo entero positivo $d$, demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$, tal que $d(n!)-1$ es un número compuesto.

OTRO PROBLEMA (MANUEL)

2011-05-26T22:38:00.002-05:00

Sean reales tales que , muestra que $\[ \frac{x(x+2)}{2x^{2}+1}+\frac{y(y+2)}{2y^{2}+1}+\frac{z(z+2)}{2z^{2}+1}\ge 0 \]$.

¿Cuándo ocurre la igualdad?

Este es de la BMO 2011

Problema del día 26 de Mayo (Centros)

2011-05-26T20:54:00.005-05:00

En cada vértice de un cuadrado se pone una piedra. Un movimiento consiste en elegir un vértice y quitar cualquier cantidad de piedras, luego, agregamos el doble de las que quitamos a un vértice adyacente al primero. ¿Es posible llegar a tener 2011, 2010, 2012, 2011 piedras en los vértices (en ese orden)?

Ah, también aprovecho para avisarles como va a estar lo de la ida. Adán y Juán se van en autobús a Colima el día 16, Enrique y yo llegaremos el 17 como a medio día más o menos. El vuelo sale de Toluca, a las 7:00AM, el 17.

PROBLEMA DEL DIA: 26 DE MAYO (MANUEL)

2011-05-26T11:58:00.003-05:00

El primero es el 6 del TST de China 2011, no he podido hacerlo pero se ve muy interesante, el segundo, es lo que entendí primero que pedía el problema, y tiene una solución medio sencilla:

1) TST: Sea $n\geq 2$ un entero. Tomamos n+1 enteros tal que $0 = a_0 < a_1 < a_2 < ... < a_n = 2n-1$. Sea $X=\{ a_i+a_j | 0\leq i\leq j\leq n\}$. Determina la mínima cantidad de elementos distintos en X

MI VERSION: Lo mismo pero determina la máxima cantidad de elementos distintos en X.

Problemas del 24 y 25 de Mayo (Centros)

2011-05-25T18:34:00.003-05:00

1) Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^{\circ}$. Sea $M$ el punto medio de $AB$, $H$ el pie de la altura desde $C$ y $P$ un punto dentro del triángulo tal que $AP=AC$. Demuestra que $PM$ biseca al $\angle BPH$ si y sólo si $\angle A=60^{\circ}.$

2) Sea $\{a_n\}$ una sucesión con $a_1=43$, $a_2=142 $ y $a_{n+2}=3a_{n+1}+a_n$ para $n\geq 1$. Demuestra que para todo $n$, $(a_n,a_{n+1})=1$ y que para todo entero positivo $m$, existen infinitos naturales $n$ tales que $m$ divide a $a_n-1$ y a $a_{n+1}-1.$

Problema del 25 de Mayo (Diego)

2011-05-25T10:40:00.002-05:00

Sean $a,b,c\in\mathbb{R}^+$, tal que $a+b+c=1$. Demuestren que:

$$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+b}}\leq\frac{3}{2}$$

Problema del 27 Mayo (Daniel)

2011-05-25T00:15:00.004-05:00

Mañana salgo de viaje asi que de una vez pongo los problemas del viernes:

1) Sean, $a, b$ y $c$ las longitudes de un triangulo acutangulo. Demuestra que
$\sqrt{a^2+b^2-c^2}\sqrt{a^2-b^2+c^2}+$
$\sqrt{b^2+c^2-a^2}\sqrt{b^2-c^2+a^2}+$
$\sqrt{c^2+a^2-b^2}\sqrt{c^2-a^2+b^2} \le ab+bc+ca$

2)Encuentra todas las parejas $(n,p)$ de enteros positivos con $p$ primo, $n \le 2p$ y tales que $n^{p-1}$ divide a $(p-1)^n + 1$

Problema Martes 24 de Mayo

2011-05-24T15:45:00.002-05:00

Encontrar todas las funciones $f:\mathds{N} \rightarrow \mathds{R}$ tales que:
(i) $f(n+1)\ge f(n)$ para toda $n\ge 1$
(ii) $f(mn)=f(m)f(n)$ para todos los naturales $m$ y $n$ con $(m,n)=1$

Problema del día 23 de Mayo (Centros)

2011-05-23T18:15:00.003-05:00

Sean $a$ y $b$ entreros positivos con $a\ge 2$ y $b\ge 3$. Demuestra que $a^b+1\geq b(a+1)$ y determina cuándo se da la igualdad.

Problemas del 21 y 22 de Mayo (Centros)

2011-05-22T08:37:00.003-05:00

1) Sea $M$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$. La bisectriz del $\angle ACD$ corta al rayo $BA$ en $K$. Si $MA\cdot MC+MA\cdot CD=MB\cdot MD$, prueba que $\angle BKC=\angle CDB.$

2)En un país con 2000 ciudades se quiere construir una nueva red de caminos para comunicarlas. ¿Es posible hacer esto de manera tal que haya exactamente dos ciudades a las que llegue un camino, exactamente dos ciudades a las que lleguen dos caminos,..., exactamente dos ciudades a las que lleguen 1000 caminos?

Problema 2 del día sábado 21 de mayo (Jorge)

2011-05-21T23:43:00.005-05:00

Pongo otro para los que ya hayan visto la solución del otro que puse hoy, que por lo que dice Flavio serán la mayoría. Éste me pareció bonito y un poco raro.

Sean $0\leq\alpha<\beta\leq1$ reales. Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que $\alpha<\frac{\phi(n)}{n}<\beta$.

Donde $\phi(n)$ es la función de Euler.

Infinidad de números primos

2011-05-21T23:21:00.002-05:00

El otro día me encontré este artículo y me pareció interesante:

"http://www.miscelaneamatematica.org/Misc44/marianito_r.pdf"

Espero que a ustedes les guste también. En general los artículos de esta página:

"http://www.miscelaneamatematica.org/" son interesantes, son de divulgación de las matemáticas pero a un nivel más avanzado, y abordan temas muy variados.

Problema del día sábado 21 de mayo (Jorge)

2011-05-21T15:06:00.004-05:00

a) Sea $n>1$ un número entero, y sea $p$ un primo que divide a $2^{2^n}+1$.

Demostrar que $p-1$ es múltiplo de $2^{n+2}$.

b) Demostrar que existen infinitas parejas de primos $(p,q)$ tal que $p$ divide a $2^{q-1}-1$ y $q$ divide a $2^{p-1}-1$.

APMO

2011-05-20T22:08:00.002-05:00

NOOOOO... A UN PUNTO DE PLATA Y SI ME SALIA EL PROBLEMA DOS ORO Y MEXICO MEDALLERO COMPLETO!!!

AQUI ESTAN LOS RESULTADOS DE LA APMO, 3 PLATAS, 4 BRONCES, 3 MENCIONES HONORIFICAS MEXICO LUGAR 14

http://www.mmjp.or.jp/competitions/APMO/

Problema del 20 Mayo (Daniel)

2011-05-19T23:56:00.003-05:00

Sea I el incentro del triangulo ABC Y sean X,Y,Z los incentros de los triangulos BIC, CIA y AIB respectivamente. Demuestra quesi XYZ es equilatero ABC también es equilatero.

Sea ABCD un cuadrilatero circunscrito (creo asi se dice, con una cicunferencia tangente a los 4 lados) sea g una linea por A que intersecta a BC en M y CD en N. Sean I1,I2,I3 los incentros de los tiangulos ABM, MNC y NDA respectivamente, demuestra que el ortocentro del I1I2I3 esta en G.

Los dos son short list del 2009, el primero no me ha salido.

IMO'S

2011-05-19T21:09:00.002-05:00

¿Se sabe ya algo sobre nuestros entrenamientos? ¿Fecha o lugar?
Pura curiosidad, nada urgente.

Simposio de la Centro

2011-05-19T18:51:00.002-05:00

¡Hola a todos!

No sé si estén enterados los que van a la Centro, pero habrá antes de la competencia un simposio los días 17 y 18 de Junio. La idea es que ustedes puedan aprovecharlo, entonces no llegaremos el 19, como habíamos dicho antes, sino el 16. Pero el plan sí sería el mismo, Enrique y yo volamos a Guadalajara y ahí encontramos a Juan y Adán para tomar un autobús a Colima. Cuando ya tenga los itinerarios de los vuelos nos ponemos de acuerdo a qué hora y dónde enontrarnos allá en Guadalajara.

¡Mientras tanto sigan entrenando! ¡Recuerden que la meta son tres oros, ánimo!

Problema del día: 19 de Mayo (Centros)

2011-05-19T16:02:00.000-05:00

S es un subconjunto de {1,2,3,......,1000} tal que si m y n son elementos distintos de S, entonces m+n no pertenece a S.
¿Cual el el numero mas grande de elementos que puede tener S?

PROBLEMA DEL DIA: 19 DE MAYO (Manuel)

2011-05-19T08:46:00.003-05:00

Sea ABCD un cuadrilátero. Sea X un punto dentro de dicho cuadrilátero. $AX^{2}+BX^{2}+CX^{2}+DX^{2}$ es el doble del área del cuadrilátero. Determina para que cuadriláteros y qué puntos dentro de ellos se cumple la condición.

Problema del día 18 de Mayo (Centros)

2011-05-18T21:46:00.001-05:00

Demuestra que se cumple

\[ \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(a+c)}+\frac{1}{1+c^{2}(b+a)}\le\frac{1}{abc} \]

para reales positivos $a,b,c$ con $ab+bc+ca=3$.

Teorema de Waring

2011-05-18T14:57:00.003-05:00

Sea $f:\mahtbb{N}_0\to\mahtbb{N}_0$ un polinomio y $d=\gcd_{k\in\mahtbb{N}_0} f(k)$. Entonces existen constantes $N$ y $k$ tal que, para todo $n\geq N$, $nd=\sum_{i=1}^k f(a_i)$, para algunas $a_i\in \mahtbb{N}_0 \forall i$.

En particular, si $0$ y $1$ estan en el dominio de $f$, se tiene que $N=0$.

Problema de día 17 de Mayo (Centros)

2011-05-17T20:14:00.003-05:00

Se tienen 2000 pelotas blancas en una caja. También se tiene un suministro inagotable de pelotas blancas, verdes y rojas. En cada turno podemos reemplazar dos pelotas de la caja con una o dos pelotas de acuerdo a las siguientes reglas: Dos blancas con una verde, dos rojas con una verde, dos verdes con una blanca y una roja, una blanca y una verde con una roja o una verde y una roja con una blanca.

$(i)$ Si después de hacer algunos cambios quedan tres pelotas en la caja, demuestra que al menos una de ellas es verde.

$(ii)$ ¿Es posible hacer algunos cambios de tal manera que quede sólo una pelota en la caja?

Problema del día 16 de Mayo (Centros)

2011-05-16T19:32:00.002-05:00

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $AD$ la altura desde $A$. Sea $E$ un punto en el segmento $AD$ de tal manera que $\angle BEC=90^{\circ}$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de $BAE$ y $CAE$, respectivamente. Si $F$ es el punto medio de $BC$ y $G$ es el punto medio de $O_1O_2$, demuestra que $E$, $F$ y $G$ son colineales.

Problema del día 16 de mayo (Georges)

2011-05-16T14:00:00.006-05:00

Sea $P$ un punto adentro del cuadrilátero $ABCD$. Los puntos $Q_{1}$ y $Q_{2}$ se encuentran adentro de $ABCD$ de tal forma que

$ \angle Q_{1}BC=\angle ABP,\angle Q_{1}CB=\angle DCP$
$\angle Q_{2}AD=\angle BAP,\angle Q_{2}DA=\angle CDP. $

Demuestra que $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{AB} $ si y solo si $ \overline{Q_{1}Q_{2}}\parallel \overline{CD} $

Problema del día 15 de Mayo (Centros)

2011-05-15T15:13:00.002-05:00

Sea $n\geq 5 $ un entero positivo. Demuestra que el conjunto $\{1,2,...,n\}$ puede partirse en dos conjuntos no vacíos $S_n$ y $P_n$ de tal manera que la suma de los elementos de $S_n$ sea igual al producto de los elementos de $P_n$.

Teorema de las isogonales de Jacobi

2011-05-14T17:22:00.003-05:00

Aquí pongo un teorema que me ha sido muy útil para concluir rápidamente varios problemas de geometría. Espero que les pueda ser de ayuda.

Teorema de las isogonales de Jacobi: Sea $ABC$ un triángulo, sobre los lados de éste se construyen triángulos $BPC, CQA$ y $ARB$ de tal manera que $\angle CAQ=\angle BAR$, $\angle ABR=\angle CBP$ y $\angle BCP=\angle ACQ$. Entonces las rectas $AP, BQ$ y $CR$ son concurrentes.

Problema 2 del día 14 de mayo (Jorge)

2011-05-14T16:54:00.006-05:00

Pongo otro para los que ya habían visto el problema de combi que puse.
Este me pareció bonito:

Demuestra que, para toda función $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$, existen al menos dos números reales positivos $x,y$ tal que

$f(x+y)$<$yf(f(x))$

Problema del día 14 de Mayo (Centros)

2011-05-14T11:28:00.006-05:00

Sean $a_1, a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que \[ \sum^{n}_{i = 1}a_{i}=\sum^{n}_{i = 1}\frac{1}{a_{i}^{2}}. \]

Demuestra que para cada $i=1,2,...,n$ podemos encontrar $i$ de los $n$ números cuya suma sea al menos $i$.

Problema del día sábado 14 de mayo (Jorge)

2011-05-13T23:03:00.005-05:00

Sea $n$ un entero positivo, y sea $N=n^2+1$. Se tienen $N$ colores, cada cuadrito unitario de una cuadrícula de $N$x$N$ se colorea usando uno de los $N$ colores, de tal manera que cada color fue utilizado exactamente $N$ veces.

Demostrar que existe una columna o una fila en donde hay al menos $n+1$ colores distintos.

Problema del día (Centros)

2011-05-13T22:07:00.002-05:00

Ayer no se podía postear por alguna razón, pero hoy si les dejo un problema:

A una fiesta asisten ocho personas. Se cuenta con cuatro mesas para acomodar a los invitados; en cada mesa debe haber exactamente dos personas. Se sabe que para cada persona $P$ en la fiesta hay a lo más tres invitados que son enemigos de $P$ (ser enemigo es mutuo). Demuestra que es posible acomodar a las personas en las cuatro mesas de tal forma que no haya enemigos en la misma mesa.

PROBLEMA DEL DIA: 12 DE MAYO (Manuel)

2011-05-13T13:54:00.003-05:00

Pondré dos problemas que se me hicieron sencillos, pero que con una buena construcción salen en un instante:

1) Sean n y k enteros positivos. Están dadas n circunferencias, todas se intersectan dos a dos en un par distinto de puntos. Cada punto de intersección se pinta de uno de n colores distintos tal que cada color sea utilizado almenos una vez, y exactamente k colores distintos aparecen en cada circunferencia. Encuentra todos los valores de k para toda n$\geq$2 tal que haya una construcción posible.

2) Se tiene una gráfica completa de n vértices. Un paso es escoger un ciclo de longitud 4 (si existe alguno) y se le elimina una de las aristas que la conforma. Determina el menor número de aristas que se pueden dejar en la gráfica después de varios pasos.

Otro problema de números (Niño)

2011-05-13T13:51:00.003-05:00

Este problema es de la lista corta de la IMO 2000. Está difícil, así que díganme si quieren una sugerencia.

Demuestra que la cantidad de enteros que no se pueden representar como suma de cuadrados perfectos distintos, es finito.

(Publicado originalmente el Miércoles 11 de Mayo)