miércoles, 6 de abril de 2011

Problema del día. Números en parejas

Determina si es posible ordenar los números $1$, $1$, $2$, $2$, $\ldots$, $n$, $n$ de modo que entre dos $j$ haya $j$ números (sin contar las $j$) para cuando $n=2000$, $n=2001$ y $n=2002$.

Por ejemplo, para $n=4$ el acomodo $41312432$ es válido.

3 comentarios:

Georges dijo...

Primero pongamos $2n$ casillas que es donde van a ir nuestros números, y numeremos a las casillas de derecha a izquierda con los números $1,2,3,...,2n$ este número lo llamaremos el lugar de la casilla.

Supongamos que si se puede hacer un acomodo con $n$, entonces fijemonos que la cantidad de números en lugar impar es igual a la cantidad de números en lugar par, por que las dos son iguales a $n$

Pero tambien la cantidad de números pares en lugar par es igual a la cantidad de números pares en lugar impar debido a que dos números pares iguales tienen un número par de casillas entre ellos por lo tanto su lugar es de distinta paridad.

Por lo tanto tambien la cantidad de números impares en lugar par tiene que ser igual a la cantidad de números impares en lugar impar, pero un número y su igual estan en casillas con la misma paridad, por lo tanto tiene que haber un número par de números impares.

Esto solo pasa cuando $n=0,3 mod 4$ Por lo tanto queda descartado $n=2001,2002$

Ahora para $n=2000$ definamos:

$a=1998, 1996,..., 1000 w=1000, 1002,...,1998$
$b=997, 995,..., 1 x=1,3,...,997$
$c=1997, 1995,...,1001 y=1001, 1003,..., 1997$
$d=998, 996,..., 2 z=2, 4,..., 998$

Y esta sucesión cumple:

$a,1999,b,2000,x,w,999,c,1999,d,999,2000,z,y$

Por lo tanto para $n=2000$ si se puede pero para $n=2001,2002$ no.

Jorge 'Chuck' dijo...

Escribamos en los lugares $-1$, $0$, $1$, $0$, $-1$,... la suma de todos los lugares es $0$ para $n$ par y $-1$ para $n$ impar. Para $j$ impar, es claro que la suma de cada uno de los números sobre los cuales están colocados será par, mientras que para los pares es al revés. Entonces acorde a esto, la suma de todos debería ser impar si $n\equiv 3(mod 4)$ o si $n\equiv 2(mod 4)$, sin embargo, la suma es impar para $n$ impar únicamente, por lo que sólo funciona si $n\equiv 3 (mod 4)$. Para el otro caso, veamos que la suma es par para $n\equiv 0,1(mod 4)$ pero sólo se debería de dar para los pares por lo que funciona únicamente $n\equiv 0(mod 4)$. Ahora demostremos que es posible crear acomodos para estos números.
Ahora probemos que funciona para múltiplos de $4$ (a fin de cuentas sólo falta probar que sirve para $2000$ ya que para los otros dos no se puede).
Sea $n=4k$ entonces nombremos $a_{1}=4k-2, 4k-4,..., 2k$, $b_{1}=2k, 2k+2,...,4k-2$, $a_{2}=4k-3, 4k-5,..., 2k+1$, $b_{2}=2k+1, 2k+3,..., 4k-3$, $a_{3}=2k-2, 2k-4,..., 2$, $b_{3}=2, 4,..., 2k-2$, $a_{4}=2k-3, 2k-5,...,1$ y $b_{4}=1, 3,..., 2k-3$ Ahora ver que el acomodo $a_{1},4k-1,a_{4},4k,b_{4},b_{1},2k-1,a_{2},4k-1,a_{3},2k-1,4k,b_{3},b_{2}$ funciona es bastante sencillo para cada elemento de los valores $a_{i}$ y para los valores $b_{i}$ y para los otros, a partir de la cantidad de elementos de estos mismos. En conclusión, vemos que $2001$ y $2002$ no pueden tener un acomodo que funcione mientras que $2000$ sí puede.

DANIELIMO dijo...

con 2001 y 2002, no se puede

Publicar un comentario