jueves, 12 de septiembre de 2013

Problema del Día 11-09-13 (Xavi)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $P$ el punto de concurrencia de sus simedianas. Sea $l_i$ la recta paralela al lado $i$ de $ABC$ que pasa por $P$ para $i=a, b, c$. Sean $X, Y y Z$ los puntos de intersección de $l_a$ con $b$, $l_b$ con $c$ y de $l_c$ con $a$, respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $XYZ$ y sea $N$ el centro de la circunferencia de los 9 puntos de $ABC$. Muestra que $ON=OP$.

miércoles, 4 de septiembre de 2013

Problema del Día 04-09-2013 (Xavi)

Dado un entero positivo $n$ y un numero real $x$, halla el valor de:

$\displaystyle\sum_{0\leq i<j\leq n}^{}$$\lfloor \frac{x+i}{j}\rfloor$

martes, 3 de septiembre de 2013

martes 3 de septiembre

Unos facilitos.
(1) Tenemos un tablero de $n$ x $m$ relleno con $1$s y $-1$s. Sea $A_i$ el producto de números en la fila $i$ y $B_i$ lo análogo para columnas. ¿Para qué ($n$,$m$) se puede cumplir que $\sum_{i=1}^n A_i+\sum_{i=1}^m B_i=0?$
(2) Encuentra todas las $n$ naturales tales que existen $a, b \textgreater 1$ con $1!+...+n! = a^b$

miércoles, 10 de julio de 2013

Problema del día (10-07-2013)

Un snack antes de irnos:

Prueba que todas las raíces del polinomio $x(x-2)(x-4)(x-6)+(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)$ son reales.

lunes, 8 de julio de 2013

Números y Álgebra. $3^2$ julio 2013. JUAN

Fácil: Sea $a$ un natural dado. En un pizarrón está escrito inicialmente un número $m$. Pepito aplica la siguiente operación:

Supongamos que en el pizarrón está escrito actualmente el número $n$. Tira una moneda. Si sale sol, borra $n$ y escribe $2n$. Si sale sello, borra $n$ y escribe $2n-1$.

¿Para qué parejas $\boxed{(a,m)}$ de naturales es posible que, con mucha suerte, Pepito algún día escriba una $a$-ésima potencia?

Medio: $n,k \textgreater 1$ son naturales. $a_1,...,a_n,c_1,...,c_n$ son reales no negativos tales que:

(i) $a_1 \ge ... \ge a_n$
(ii) $a_1+...+a_n=1$
(iii) $\forall m \in \{1,...,n\}$ se da que $c_1+...+c_m\le m^k$

Encuentra el máximo valor posible de $\boxed{c_1a_1^k+...+c_na_n^k}$

Problema del Día (Adán)

Sea $s>1$ un entero. Muestra que existen infinitos $n\in \mathbb{N}$ tales que

\[n\mid 1^{n}+2^{n}+\cdots+s^{n}.\]


Sea $n$ un entero positivo. Un conjunto $S$ de $n$ puntos en el plano, tales que no contiene tres puntos alineados, es tal que para cada punto $P$ en $S$, al menos otros $k$ puntos en $S$ tienen la misma distancia a $P$. Muestra que

\[k<\frac{1}{2}+\sqrt{2n}.\]

domingo, 7 de julio de 2013

Soluciones Mock 7 (Chiu)






Problema del Día 07-07-2013 (Xavi)

Encuentra el valor de la suma:

$\sum_{i=0}^\infty{\frac{F_i}{2^i}}$

En donde $F_i$ representa el i-ésimo termino de la sucesión de Fibonacci.
(Nota: $F_0=F_1=1$)

sábado, 6 de julio de 2013

Mock # 7

Tiempo: 4 horas


miércoles, 3 de julio de 2013

Problema del día (03-07-2013)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BA\neq BC$. Sean $k_1$ y $k_2$ los incírculos de $ABC$ y $ADC$, respectivamente. Supongamos que existe una circunferencia $k$ tangente al rayo $BA$ en un punto más allá de $A$ y al rayo $BC$ en un punto más allá de $C$ y que también es tangente a las rectas $AD$ y $CD$. Demuestra que las tangentes externas comunes a $k_1$ y $k_2$ se intersecan en $k$.

lunes, 1 de julio de 2013

Problema $2$ de julio del $2013$

¿Existirán infinitos naturales $n$ tales que $\pi(n) | n$?

Problema del Día (Adán)

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2n}$ enteros distintos tales que la ecuación

\[\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\cdots \left(x-a_{2n}\right)-\left(-1\right)^{n}\left(n!\right)^{2}=0\]
tiene una solución entera $s$. Muestra que

\[2n\mid a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2n}.\]

miércoles, 26 de junio de 2013

Problema del día (26-06-2013) (Chiu)

Unos más o menos fáciles:

$a)$ Prueba que la suma de los dígitos (en decimal) de todo múltiplo mayor que 0 de $\underbrace{11...1}_m$ es mayor o igual que $m$.

$b)$ Prueba que existe un múltiplo de $5^{2013}$ que no tiene ningún dígito cero en su expansión decimal.

lunes, 24 de junio de 2013

Problema $5^2$ de junio del 2013, JUAN

Si ya los vieron, me dicen.

$PROBLEMA 1$:  En un hospital, cada par de pacientes son amigos o enemigos. La amistad y la enemistad son mutuas, y uno no es ni amigo ni enemigo de uno mismo. Si 3 pacientes tienen un amigo en común, entonces un número par de pares de ellos son enemigos (o sea, hay 2 o 0 pares de enemigos). Demuestra que existe la posibilidad de que:
--> Cada paciente tenga exactamente 2 enfermedades distintas
--> Si A y B son amigos, A y B tienen exactamente una enfermedad en común.
--> Si A y B son enemigos, A y B no tienen enfermedades en común.
--> No existen pacientes A, B, C y enfermedades X, Y, Z tales que A tiene X y Y, B tiene Y y Z y C tiene Z y X.

$PROBLEMA 2$: ABCD es un cuadrilátero tal que AC=BD. $AC \cap BD = P$. $w_1$ y $O_1$ son el circuncírculo y circuncentro de ABP, respectivamente. $w_2$ y $O_2$ son el circuncírculo y circuncentro de CDP, respectivamente. El segmento BC intersecta a $w_1$ y $w_2$ en S y T (además de B y C), respectivamente. M y N son los puntos medios de los arcos SP (sin B) y TP (sin C). Muestra $MN \parallel O_1O_2$.

Problema del Día (Adán)

Los círculos $\Omega_{1}$ y $\Omega_{2}$ se cortan en $P$ y $K$. Sea $XY$ la tangente común a $\Omega_{1}$ y $\Omega_{2}$ más cercana a $P$ de modo que $X$ está sobre $\Omega_{1}$ y $Y$ está sobre $\Omega_{2}$. La recta $XP$ corta de nuevo a $\Omega_{2}$ en $C$ y la recta $YP$ corta de nuevo a $\Omega_{1}$ en $B$. Sea $A$ la intersección de $BX$ con $CY$. Sea $Q$ la segunda intersección de las circunferencias circunscritas a $ABC$ y $AXY$. Muestra que \[\angle QXA=\angle QKP.\]

domingo, 23 de junio de 2013

Soluciones (Adán)










Problema del Día 23-06-13 (Xavi)

Muestra que para todo entero positivo $n$ se tiene que

$\sum_{k=1}^n{\sqrt{\frac{k-\sqrt{k^2-1}}{\sqrt{k^2+k}}}}\leq\sqrt[4]{\frac{n^3}{n+1}}$

sábado, 22 de junio de 2013

Soluciones Xavi Mock 6





Mock Juan 6

El Problema 1 ya lo había visto, los demás no, así que solamente escribí los problemas 2,3,4.



Soluciones Mock 6 (Chiu)






Diego Mock 6









Examen MOCK #6


Examen MOCK #6  (Tiempo del examen 4:30 horas)



Problema 1

En el plano son dados n puntos, no 3 en una linea. Un conjunto de estos puntos se llama "polite" si forman un polígono convexo con no puntos en su interior. Sea $c_k$ el numero de conjuntos "polite" con $k$ puntos.

Demostrar que la suma

\[\sum_{i=3}^{n} (-1)^i c_i \]

solo depende de $n$ y no de la configuración de los puntos.

Problema 2

Dado un entero $ n>1 $, encontrar todas las $n-eadas$ de distintos numeros naturales coprimos 2 a 2

$a_1,a_2,a_3,.....,a_n$  tales que  $ a_1 + .... + a_n $ divide a $ a_1^i + .... + a_n^i $  para $ 1 \le i \le n $

Problema 3

Demostrar que un polígono arbitrario simple (no necesariamente convexo) tiene una diagonal la cual esta completamente en el interior del polígono y divide al perímetro en 2 partes, cada una de las cuales tiene al menos un tercio de los vértices del polígono.




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Problema 4 (por si ya habían visto alguno de los anteriores)


Encontrar todas las funciones f : \mathbb R \to \mathbb R tales que para todos x, y,
f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4f(x)y.



viernes, 21 de junio de 2013

Sean $a,b,c$ reales positivos. Sea $ a+b+c =\sqrt[7]{a}+\sqrt[7]{b}+\sqrt[7]{c} $. Por demostrar $ a^a b^b c^c\ge 1 $

miércoles, 19 de junio de 2013

Problema del día (19-06-2013) (Chiu)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. $AC$ y $BD$ se intersecan en $F$, $BA$ y $CD$ se intersecan en $E$. Sean $G$ y $H$ las proyecciones de $F$ sobre $AB$ y $CD$, respectivamente, y sean $M$, $N$ los puntos medios de $BC$ y $EF$, respectivamente. Si el circuncírculo de $MNG$ interseca al segmento $BF$ en un único punto $P$ y el circuncírculo de $MNH$ interseca al segmento $CF$ en un único punto $Q$, demuestra que $PQ\parallel BC$.
Encontrar todas las funciones $f$ de naturales a naturales tal que para todo $a$ y $b$ naturales se cumple que:
$a$, $f(b)$ y $f(b+f(a)-1)$ son los lados de un triangulo no degenerado.

lunes, 17 de junio de 2013

Problema 18 junio 2013 JUAN

Pongo tres por que creo que no están difíciles, y los podrían haber visto.

PROBLEMA 1: En Combilandia, el combidiablo se enojó porque no pudo salir, y mandó un terremoto que destruyó 166 ciudades, de modo que solo quedaban 500 ciudades, y TODAS las calles quedaron destrozadas. Se construyeron nuevas calles, de modo que al final quedaron 2013 calles, todas de doble sentido. Dos ciudades  A y B son semivecinas si existe C tal que AC y CB son calles. Resulta que un matemático no puede caminar exactamente 4 calles (iniciando en una ciudad) y terminar en la misma ciudad en la  que inició. Demuestra que existe una ciudad en Combilandia que es semivecina de al menos 57 ciudades.

VERSIÓN CHAFA: Grafo simple (sin dobles aristas, no dirigido y sin aristas tipo V-V). 500 vértices, 2013 aristas. No hay ciclo de longitud 4. Muestra que hay un vértice A tal que existen al menos 57 otros vértices tales que existe un camino iniciando en A y terminando en ese vértice, de longitud 2.

PROBLEMA 2: Ana y Bruno juegan un juego. $P_n$ es el conjunto de los naturales $m$ que cumplen $p \in \mathbb{P}, p\textgreater 3 \Rightarrow v_p(m)=0$ y $v_3(m)+v_2(m)=n$. Si $X$ es un subconjunto de $P_n$, $S_X$ es la suma de los elementos de $X$. $S_{\{\}}=0$. Ana escoge un  número real $0 \le y \le 3^{n+1}-2^{n+1}$. Si Bruno encuentra un $Y$ subconjunto de $P_n$ tal que $0 \le y - S_Y \textless 2^n$, Bruno gana. De lo contrario, gana Ana. ¿Quién tiene estrategia ganadora?

PROBLEMA 3: $a,b,c$ reales positivos cuyas potencias cuartas suman a 3. Demuestra que $\sum_{cyc} \frac{1}{4-ab} \le 1$.

Problema del Día (Adán)

Determina todas las ternas de reales $\left(x, y, z\right)$ tales que

\[2x^{3}+1=3zx\]
\[2y^{3}+1=3xy\]
\[2z^{3}+1=3yz\]

domingo, 16 de junio de 2013

Problema del Día 16-06-13 (Xavi)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que sus diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y sea $M$ su punto de intersección.  Sean $EF$ y $GH$ dos segmentos que se intersectan en $M$ y con $E$, $F$, $G$ y $H$ sobre los segmentos $AB$, $CD$, $BC$ y $DA$, respectivamente. Sean $X$ y $Y$ los puntos de intersección de $EH$ y $GF$ con $AC$. Mostrar que si $M$ es punto medio de $AC$, entonces $M$ es punto medio de $XY$.

sábado, 15 de junio de 2013

Soluciones (Adán)