martes, 15 de junio de 2010

Conjugados isogonales.

Pongo esto en una nueva entrada porque tal vez ya no vean los comments del problema que puso Hugo. Pues la segunda parte del problema, la que no nos había salido a nadie no era tan complicada usando conjugados isogonales. La verdad yo había escuchado el nombre y tenía alguna idea de lo que eran, pero no sabía bien que ni cómo se podían aplicar para resolver problemas. Es algo que se puede mostrar fácil usando Ceva trigonométrico, pero creo que es conveniente que todos lo sepamos (creo que algunos ya lo conocían) para aplicarlo directo, sin que se te tenga que ocurrir en lugar de eso usar Ceva trigonométrico. Es como si no supieramos potencia y siempre usáramos semejanza, que a veces es más difícil que se ocurra.

Entonces dejo acá dos links para que lo lean los que no saben de esto.

Problema del Día: 15 de junio

Cada entero positivo se colorea de azul o rojo. Muestra que existe una sucesion estrictamente creciente de enteros positivos a_1, a_2, ... tal que

a_1, (a_1+a_2)/2, a_2, (a_2+a_3)/2, a_3, ....

es una sucesion de enteros positivos del mismo color.



(Selectivo de China, nivel 3 o 6 de IMO)

lunes, 14 de junio de 2010

Ser el mejor de México

El post de Leo me dejo pensando bastante, sobre el hecho de que uds también compiten contra ustedes mismos y el que traten de ganarse y ser el mejor de México, me quede pensando "aquí esta la solución al top 20", si los 6 hicieran el papel que hace el que sale mejor de todos, seguramente la mayor parte del tiempo quedaríamos top 20, si la desviación estandar fuera mínima y todos se concentraran alrededor de la que sera la puntuación mas alta del equipo, difícil no sacar top 20. Por que no puede ser así? Por que debe haber alguien o algunos que nos van a bajar el promedio como delegación? Esto tiene que ser así? Necesariamente en cada IMO tiene que haber Mexicanos que van a salir bastante mal? es acaso una verdad natural ante la que no podemos hacer nada?

En particular yo creo que si hay diferencia entre ustedes, lo que no creo es que estas diferencias sean SIGNIFICATIVAS, especialmente en un evento donde SOLO se califican 2 examenes; no es como el mundial donde Brasil tiene mucho mas probabilidad de ganar la copa que Corea del Norte, entre ustedes, aunque es posible asignarles probabilidades de éxito y esto solo como un ejercicio intelectual, no creo que los números marcaran gran diferencia. O acaso hay alguno de ustedes que crea que su nivel es tan diferente de los demás que le es imposible ser el mejor de México?

Quien de ustedes cree que tiene la capacidad para ser el mejor del país en esta IMO? Quien de ustedes cree que eso es imposible y porque?

Por favor contesten muchachos, su participación aunque quizás no lo vean claro ahorita es fundamental para su preparación y no solo eso, nos ayudara para saber que hacer con futuras generaciones, tenganme confianza en que esto es importante, el poco tiempo que dediquen aquí tendrá connotaciones mas allá de esta olimpiada, créanme, en el peor de los casos perderán unos minutillos, pero en el mejor ayudaran a la preparación de futuras generaciones de olímpicos; y contesten con la verdad, nada de falsas modestias o respuestas políticas.

Les repito:

Quien de ustedes cree que tiene la capacidad para ser el mejor del país en esta IMO? Quien de ustedes cree que eso es imposible y porque?


domingo, 13 de junio de 2010

Problema del 29 de mayo (Numero 18 en la lista de leo)

Un poco tarde, pero aqui esta:
solucion

Solucion a 'Desigualdad (Irving)'(Problema 17 de la lista de leo)

Enunciado:

Sean x,y,z reales positivos, demostrar que

81xyz(x^2+y^2+z^2) (menor o igual a) (x+y+z)^5

solucion

Solucion al 'Problema de lista corta(de Irving)' (numero 10 en la lista de leo)

Enunciado:
Considera el sistema:
x + y = z + u
2xy = zu
Encuentra el maximo valor de la constante real m tal que m (menor o igual a) x/y para cada solucion entera positiva x, y, z, u del sistema y con x (mayor o igual a ) y.
Solucion

Lista de problemas

Estaba dándole una repasada al blog y me di cuenta que hay varios problemas que aún no tienen solución, y algunos que ni siquiera han sido comentados. Les dejo una lista con los problemas que tenemos hasta ahora en el blog, junto con una lista de las personas que han escrito su solución.

Pueden usarla también como checklist personal de lo que han intentado, de lo que han resuelto y de lo que ya saben cómo se resuelve. Sigan intentando lo que no ha salido, repasen los trucos aprendidos y a la vez aprendan de sus compañeros. Idealmente ya ningún problema parecido a estos les deberá presentar ninguna dificultad. Si no entienden, pregunten. Si saben algo útil, coméntenlo. A la IMO van a competir contra todos, incluso contra ustedes, así que háganse entre ustedes mismos rivales dignos de ser vencidos. Lleven a México a los mejores equipos y, entonces sí, compitan entre ustedes por ser el mejor de los mejores.

Lista de problemas (búsquen abajo a la derecha, donde dice "click here" en azul)

Unos y partes distintas en particiones

Para una partición P de un número, definimos A(P) como la cantidad de unos que aparecen en P y B(P) como la cantidad de números distintos en P. Demuestra que para cualquier n fija la suma de las A(P) sobre las particiones de n es igual a la suma de las B(P) sobre las particiones de n.

Problema del día: 13 de junio.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos (a,b) tales que 2ab²-b³+1 divide a a².

viernes, 11 de junio de 2010

Problema del Dia 11 de junio

Demuestra que si tienes un triángulo en el plano cartesiano cuyos tres vértices tienen coordenadas enteras, entonces uno de los lados es mayor a la raíz cúbica de R, el circunradio.

jueves, 10 de junio de 2010

Problema del día 10 de junio de 2010

En un cuadrilátero convexo ABCD, la diagonal BD no es bisectriz del ángulo ABC ni del CDA. Sea P un punto dentro del ABCD tal que

ang(PBC) = ang(DBA) y ang(PDC)=ang(BDA).

Prueba que ABCD es un cuadrilátero cíclico si y sólo si AP = CP.

miércoles, 9 de junio de 2010

Tiempo para resolver un problema y trucos

Creo que Pablo, Fernando, Chino, Niño, Leonardo, etc., podrian aportar mucho
acerca de la sugerencia de poner trucos favoritos que aparecen en algunos
problemas de IMO, y dijo que ellos, pues son lo que tienen experiencia mas reciente
en problemas IMO, pero si alguien tiene truco favorito lo deberia escribir en el blog.

Yo se que Pablo se sabe varios, pero me entere que anda ocupado pues se acerca su
examen profesional de matemáticas, así que no se si tenga tiempo.

En mi caso, uno de mis trucos favoritos es usar la identidad algebraica cubica que viene en la seccion de la desigualdad util del libro de desigualdades, con esta he resuelto varios problemas
de olimpiada, por ejemplo, la solucion corta (por la cual le deberian quitar el premio a Diego =) de la centro ) del problema 5 de la centro, que al parecer nadie vio pues no recibio ningun coment, aun cuando la solucion se escribe en pocos renglones en el archivo pdf.


Acerca de cuanto tiempo dedicar a un problema, pensando en la IMO, un tiempo razonable para hacer el problema 1 deberia ser menos de una hora, esto les daría mas tiempo para atacar problemas 2 y 3. Igualmente, el problema 4 lo deberian resolver en maximo una hora.
Claro que ahora en los problemas del blog, tienen mas tiempo, desde horas hasta dias, pero creo que si es una buena idea no quedarse mucho tiempo con un problema, y mejor ver la mayor cantidad posible de problemas.

Un poco para entrenarlos en esto del tiempo, ahora en Morelia habra varios examenes Mock tipo IMO, en los cuales tendran el mismo tiempo que en la IMO para resolverlos, esto para que vayan acostumbrandose a la presion del examen, es lo que se me ocurre ahora, que los puede ayudar a administrar el tiempo y para ver que si intenten sacarle puntos a todos los problemas.

Problema 9 de junio

Sea x un real tal que las desigualdades 0 < (2002^1/2) - a/b < x/ab se verifica para infinitos pares (a,b) de naturales. Demostrar que x es mayor o igual que 5.

Alguien sabe...

como es el 'SOS method' para desigaldades? o que almenos tenga algun archivo o conosca de donde puedo sacar un archivo para aprender el metodo

martes, 8 de junio de 2010

Cuánto hay que dedicar a los problemas??

Me gustaría que nos tomaramos un par de minutos para discutir algo en lo que yo había pensado hace algunos días, quisiera saber qué opinan todos de esto: Ya tenemos el tiempo encima, en menos de un mes nos vamos a la IMO y lo que necesitamos ahora es aprovechar estos días que quedan al máximo, aprender nuevas cosas, trucos, etc. Todos sabemos que lo mejor es resolver muchos problemas, pero creo que hay algunos que tal vez simplemente no nos van a salir porque no conocemos el truco que se tiene que usar (digo esto por ejemplo, por el problema 3 de Canadá, yo creo que a mi no me hubiera salido porque nunca había hecho o intentado eso de acomodar los números para que cumplan que su suma quede en tal intervalo, la forma de concluir es más estándar, pero el paso clave era el anterior). Creo que hay que dedicar siempre suficiente tiempo a los problemas, no se aprende casi nada simplemente leyendo soluciones. Pero mi pregunta es, cuánto es suficiente tiempo considerando nuestra situación?? Yo pienso que en estos momentos no sería muy conveniente ponerte a intentar todos los problemas hasta que te salgan, o si? Porque incluso puedes tardar más de un día para tener la solución, o a veces ni logras llegar a una y creo que intentando el problema un tiempo razonable, digamos sólo por dar un número, 2 horas, si no te sale y lees las primeras líneas de la solución, te da una idea de cómo atacarlo y así poder avanzar. Además en el camino vas aprendiendo nuevo trucos, a veces aprendes más que si hubieras resuelto el problema por tu cuenta, porque cuando haces ésto por lo general usas teoremas y trucos que ya conocías. Bueno, no sé qué opinen los demás.

Problema del día: Junio-8-10

Primero, repetiré el que ya puse, puesto que nadie lo ha resuelto ,(si es un problema nasty de verdad), no soy muy fan de ponerle dificultad a los problemas, puesto que por lo regular tienden a reflejar mas que tanto batallo el que lo propuso que la dificultad del problema en si, pero si me preguntaran diría que es como un problema 3 (6?) de IMO (o sea que yo batalle mucho)
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Tienen 32 números naturales tales que a_1+a_2+a_3+.......+a_32 = 120

Todas las a's pertenecen al conjunto {1,2,3,4,...........,59,60}

Demostrar que puedes encontrar 2 colecciones disjuntas (particiones) de los 32 números, tales que la suma de los elementos de una colección es igual a la suma de los elementos de la otra.
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Y ahora si el problema correspondiente al día de ahora:
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Demostrar que enteros no negativos a ≤ b satisfacen  (a2 + b2) = n2(ab + 1)   con n entero positivo, si y solo si son términos consecutivos en la sucesión  ak  definida por  a0 = 0,  a1 = n,  ak+1 =  n2 ak - ak-1
El nivel de este es como de un problema 5 de un nacional de Canadá (que solo tiene 5 problemas)
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Y si ese ya lo hicieron ahí les va otro, nivel 3 de 5 de Canada:
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Demuestra que en cualquier sucesión de 2000 enteros cuyo valor absoluto no excede 1000 tales que su suma es 1, podemos encontrar una subsucesion de uno o mas términos cuya suma es 0.
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Y si este también ya lo hicieron, pues mejor, así tienen mas tiempo para el de las particiones.

lunes, 7 de junio de 2010

domingo, 6 de junio de 2010

Otro problema de lista corta...

Hints Problema 6 de Junio: desigualdad

Es posible usar multiplicadores de Lagrange pero el sistema de ecuaciones resultante es bastante complicado de resolver, mejor intenten algo mas standar como aplicar Cauchy-Schwarz a las sucesiones (a_{k+1}) y ( (a_k)^2+ 2 a_{k+1} a_{k+2} ) para mostrar que la suma pedida es menor que \sqrt{2} / 3

Solución del problema N4

Palabras binarias

Sea la cantidad de palabras binarias de n dígitos tales que no tengan tres términos consecutivos 0, 1, 0 en ese orden.

Sea la cantidad de palabras binarias de n dígitos tales que no tengan cuatro términos consecutivos iguales a 1,1,0,0 ó 0,0,1,1, en ese orden.

Demuestra que para toda n.

y los problemas?

namas queria saber cuales son los problemas del 2,3 y 5 de julio.

sábado, 5 de junio de 2010

Problema del día: 6 de junio del 2009

Sean a_1, a_2, ... , a_100 números reales no negativos tales que

(a_1)^2 + (a_2)^2 + · · · + (a_100)^2 = 1.

Muestra que

(a_1)^2 · a_2 + (a_2)^2 · a_3 + (a_3)^2 · a_4 + · · · + (a_100)^2 · a_1 < 12/25

(problema de lista corta, equivale a un problema 5 o 3 de la IMO)

Solucion primero de junio.


Un poco tarde, pero bueno, despues voy poniendo los otros. Es que queria hacer los otros que me faltan y ponerlos juntos pero mejor no.

Solucion corta del Problema 5 de la centro

PDF Link en Google Documents

Notacion sqrt[3]{x} es la raíz cúbica de x

Problema 5 de la Centro
Sean p, q, r números racionales distintos de cero tales que


sqrt[3]{pq^2} + sqrt[3]{qr^2}+sqrt[3]{rp^2}


es un número racional distinto de cero. Pruebe que

1 \ sqrt[3]{pq^2} + 1 \ sqrt[3]{qr^2} + 1 \ sqrt[3]{rp^2}

también es un número racional.


Solución. Sea a=sqrt[3]{pq^2}, b=sqrt[3]{qr^2} y c=sqrt[3]{rp^2}, luego las hipótesis del problema son: p, q, r y (a+b+c) son racionales, de donde debemos mostrar que

1\a+ 1\b+ 1\c es un número racional.


Usando mi identidad favorita

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(ab+bc+ca)(a+b+c)-3abc

observamos que entonces, podemos despegar ab+bc+ca para ver que es un número racional, pues es trivial ver que abc=pqr, por lo que también es racional.


Ahora simplemente observe que



1\a+ 1\b+ 1\c= (ab+bc+ca)\abc



lo cual concluye la demostración.


Edit: Por David para añadir el link al PDF

Problema Tablero

Les dejo un problema que leí hace tiempo y me gustó.

En cada casilla de un tablero de 2010x2010 se coloca una flecha en alguna de las direcciones arriba, derecha, izquierda o abajo. Un gato cae en alguna casilla del tablero, y en cada paso camina una casilla en la dirección marcada en la casilla que está. Al hacer esto, la flecha de la casilla que abandona rota 90 grados en sentido horario.

Si la dirección le dice que camine fuera del tablero, el gato no se mueve, pero la flecha sí rota, a menos que esté en la esquina inferior derecha del tablero y la flecha le dice que camine hacia abajo, en cuyo caso el gato sale del tablero.
Determina si el gato siempre sale del tablero.

viernes, 4 de junio de 2010

A nasty problema

Este es uno de los problemas que he resuelto que casi me saco de mis casillas y siempre he querido ver una solución elegante, pues mi solución es muy poco elegante. Quizás alguno de ustedes ya lo haya resuelto y quieran compartir su solución y si no, quizás lo intenten y encuentren una solución chida.

Tienen 32 números naturales tales que a_1+a_2+a_3+.......+a_32 = 120

Todas las a's pertenecen al conjunto {1,2,3,4,...........,59,60}

Demostrar que puedes encontrar 2 colecciones disjuntas (particiones) de los 32 números, tales que la suma de los elementos de una colección es igual a la suma de los elementos de la otra.

Solución 4 de junio Irving

Problema del día: 4 de junio

Las sucesiones (a_n) y (b_n) se definen así:

a_{0}=1, b_{0}=4 y

a_{n+1}=a_{n}^{2001}+b_{n}, b_{n+1}=b_{n}^{2001}+a_{n}

Demuestra que 2003 no es divisor de ninguno de los términos de estas sucesiones.

jueves, 3 de junio de 2010

Resultados de la APMO




N4 lista corta

Encuentra todas las ternas (a, m, n) de enteros positivos tales que a^m+1 divida a (a+1)^n.

miércoles, 2 de junio de 2010

Problema 5 de la Centro

Creo que a alguien le ha de interesar que postee mi solucion del 5 por si alguien tiene curiosidad de verla.(aunque el nivel de problema se sale un poco del nivel para el que estamos entrenando)

Enunciado:
Dados p,q,r racionales distintos tales que (pq^2)^(1/3)+(qr^2)^(1/3)+(rp^2)^(1/3) es racional distinto de 0.
Demuestra que 1/(pq^2)^(1/3)+1/(qr^2)^(1/3)+1/(rp^2)^(1/3).

Demostracion:
Lema: Sea a,b,c racionales distintos de 0 tales que a*(b^(1/3))+c*(b^(2/3)) es racional, entonces b^(1/3) tambien lo es.
Sea t=a*(b^(1/3))+c*(b^(2/3)), entonces b^(1/3) es una solucion de la cuadratica cx^2 + ax -t, entonces
b^(1/3)=(-a +- (a^2+4ct)^1/2)/2c. b^(1/3) es racional SII +-(2c*b^(1/3)+a) lo es SII (a^2+4ct)^1/2 es racional.
ahora,elevando al cubo queda una exprecion T en la derecha, y b en la izquierda. Tenemos que T=b que es racional, entonces T es racional SII 8*T*c^3 es racional. Substituyendo T, tenemos que ((a^2+4ct)^(1/2)) * (+-1)(4a^2+4ct)-a^3-a(a^2+4ct) es racional SII (a^2+4ct)^1/2(+-1)(4a^2+4ct) es racional SII (a^2+4ct)^1/2 es racional SII b^(1/3) es racional. QED.


Llamemos A=(pq^2)^(1/3)+(qr^2)^(1/3)+(rp^2)^(1/3) y B=1/(pq^2)^(1/3)+1/(qr^2)^(1/3)+1/(rp^2)^(1/3).
Tenemos que A es racional, entonces A^3 es racional.Quitando los terminos sin raizes cubicas y dividiendo entre 3,queda que (pq+qr+rp)*(pqr)^(1/3)+(p+q+r)*(pqr)^(2/3) es racional, porlotanto poniendo a=pq+qr+rp, b=pqr, y c=p+q+r,tenemos que a,b,c son racionales y tambien a*(b^(1/3))+c*(b^(2/3)) es racional, entonces b^(1/3)=(pqr)^(1/3)=u tambien lo es. Ahora, consideremos AB. AB es racional SII AB-3 es racional SII (pq/r^2)^(1/3)+(r^2/pq)^(1/3)+ (pr/q^2)^(1/3)+(q^2/pr)^(1/3)+ (rq/p^2)^(1/3)+(p^2/rq)^(1/3) SII (pqr/r^3)^(1/3)+(r^3/pqr)^(1/3)+(pqr/p^3)^(1/3)+(p^3/pqr)^(1/3)+(pqr/q^3)^(1/3)+(q^3/pqr)^(1/3) es racional, SII u/r+r/u+u/p+p/u+u/q+q/u es racional, pero como u,p,q y r son racionales esta ultima exprecion tambien es racional, porlotanto AB es racional y como A es racional, B es racional.

Problema de geometría

El circuncírculo con centro O de un triángulo acutángulo ABC tiene a AA' como diámetro.
La recta tangente al circuncírculo en A' intersecta a la recta BC en D.
La recta OD intersecta a los lados AB y AC en los puntos P y Q respectivamente.
Demuestra que OP=OQ.

martes, 1 de junio de 2010

Problema del Putnam 2000

bueno, es un problema de una olimpiada universitaria, pero parece muy "preuniversitario" por asi decir:

Demuestra que
(gdc(n,m)/n) ( nCm)
es entero para toda pareja (n,m) en N^2

Pregunta.

A ver si alguien me puede ayudar. Estaba intentando un problema de ecuaciones funcionales de Vietnam y tengo una duda. Bueno, el link está abajo, ahí viene el problema y dos soluciones. Te piden encontrar el máximo número real A que cumple una desigualdad. Pero, necesariamente existe ese real? En la solución de un tal olorin encuentra A de una forma sencilla, pero asumiendo que existe. Y si no existiera? O porque te lo pide el problema puedes asumir que existe? Tal vez la respuesta sea la segunda solución que dan con una sucesión que converge a 1/2. Puede sonar tonto, pero tego la duda, con eso de que la sucesión converge a 1/2 nos aseguramos de que no podría suceder algo como que el A que busquemos no exista porque para cada constante k que cumpla la desigualdad podemos encontrar otra constante mayor k' > k pero siempre menor que 1/2. No podría existir una función de las de la familia F que no cumpla la desigualdad cuando k=1/2. Es que con eso de que las sucesiones convergen siempre me confundo...

Problema

2o Análisis del blog: Finales de Mayo

Hola,

Para empezar quisiera mencionar que es muy grato ver el trabajo que han realizado en el blog, sin lugar a dudas mejoro mucho de la primera a la segunda semana, pero aun pueden mejorar mucho mas, siganle así muchachos, echándole todas las ganas. El objetivo esta cerca y esta es la etapa mas importante de su preparación, tanto en lo técnico como en el aspecto mental, van por muy buen camino.

Bueno, aquí va el análisis, el problema del 23 de Mayo propuesto por Quique, fue comentado por Irving y Diego, Irving luego propone algunas ideas lo cual genero 3 ejercicios mas propuestos por Quique, que solo fueron comentados por Irving, Diego muestra sus avances en el problema, Quique escribe otro post donde da una pista con fracciones continuas, que fue comentado por Irving.

El problema del 24 de Mayo propuesto por Hugo, fue resuelto por Irving, Manuel y Flavio

Irving propuso un problema de lista corta de Colombia, nadie de los otros 5 lo comento, lo cual una vez mas es totalmente inaceptable, tienen que comentar al menos si lo están intentando, que han intentado, si se les hace fácil, difícil, no debe ser complicado encontrar tiempo para intentar TODOS los problemas que aparecen en el blog (nota: "intentar" es diferente de dar soluciones completas y por lo tanto lleva mucho menos tiempo), yo les propongo que cuando vayan al baño, se lleven una hoja y pluma y en esos 15 mins (1/2 hr?), lo intenten.

Diego propuso una solución al problema del 19 de Mayo, que genero una serie de comentarios interesantes entre Diego y Quique

Rogelio menciona la entrada de Georges como suplente, pero pues hasta el momento no se ha sabido nada de Georges. Supongamos que la gente que esta en la banca en la selección nacional le dice a Aguirre en los entrenamientos "pues nosotros no necesitamos entrenar nada no?, al cabo somos banca", que haría el vasco si alguien de la banca se comportara así? lo convocaría para futuros eventos?

En el post de David sobre a que país deberíamos superar en la IMO comentaron Manuel, Diego, Daniel, Irving y se llego a que una buena meta seria ganarle a toda Latinoamerica, Rogelio continua con otro post al respecto que fue comentado por Diego, Daniel, Manuel, Irving y Flavio, donde entre otras cosas se comento que una meta buena seria superar la mejor participación de México hasta el momento (lugar 24)

Daniel escribe un post con sus avances en cada problema, en el cual nos damos cuenta que efectivamente ha estado trabajando en ellos

Manuel propone un problema de lista corta que fue comentado por Irving, Jose Luis y Daniel

Jose Luis admite que no le ha dedicado mucho tiempo a los problemas por la escuela, lo cual genera una serie de posts bastante interesantes por Manuel, David, Flavio, Quique, Eduardo, Isai y Jesús. Este es un muy buen ejemplo de como posts en este caso los de Jose Luis y Flavio que pudieran parecer no demasiado importantes, pueden generar una discusión bastante importante que creo que beneficia a todos, alumnos y entrenadores; y esto solo se logro porque Jose Luis, Manuel y Flavio decidieron participar. Los comentarios de Flavio llevaron a Rogelio a hacer un nuevo post donde habla del sentir del comité, donde también Eduardo comento, en general creo que la discusión fue bastante constructiva.

El problema del 26 de Mayo propuesto por Marco comentaron Daniel, Irving, Manuel y Jose Luis; Daniel e Irving presentaron una solución, Jose Luis dijo tenerla aunque no la publico por dificultades para subirla, la que si publico Jose Luis fue una solución a un problema propuesto por Carlos anteriormente, tambien Irving publica después una solucion al problema de Carlos.

El problema del 27 de Mayo propuesto por Pablo fue comentado por Irving y Daniel y resuelto por Daniel, e Irving.

El problema del 28 de Mayo propuesto por Rogelio fue comentado por Irving y Daniel y solucionado por Irving y Daniel e intentado también por Flavio.

Irving propuso una desigualdad donde Eduardo le da un tip, no fue comentada por nadie.

El problema del 29 de Mayo propuesto por Eduardo, fue comentado por Irving y Flavio, con la sugerencia propuesta por Eduardo, es resuelto por Irving

El problema del 30 de Mayo propuesto por David, fue resuelto por Daniel e Irving

Asi que estas serian mis calificaciones de este segundo analisis del blog: A (Excelente), B (Bueno), C (Satisfactorio), D (Mediocre), F(Malo)


Irving ----- A+
Daniel ----- A
Diego  ----- A*
Flavio ----- B
Manuel ---- B
Jose Luis ---- C+
Georges ---- F

Solución 1º de junio, Irving


Problema del día 1 de junio de 2010

Un cuadrilátero convexo ABCD está inscrito en una circunferencia con centro en O. Sea E el punto de intersección de las diagonales AC y BD. Si P es un punto en el interior de ABCD tal que

ang(PAB) + ang(PCB) = ang(PBC) + ang(PDC) = 90º

demuestra que O, P y E son colineales.