Re:Problema de Navidad

Bueno, un poco tardado pongo la solucion pero ahi va.

Sea A=(0,0),B=(1,0), P=(p,0) y R=(1,r). Con estos puntos ya estan definidos todos los demas. La recta RP tiene pendiente (r-0)/(1-p)=-r/(p-1) y pasa por R=(1,r). Luego de aritmetica trivial, llegamos a que la recta es y+rx/(p-1)=rp/(p-1) (*RP*).

Como Q=(0,q) y esta en RP entonces cumple esa ecuacion (*RP*). porlotanto q=rp/(p-1).

Entonces Q=(0,rp/(p-1)).

La recta AR tiene la ecuacion -rx+y=0 (*AR*), mientras que la recta BQ tiene la ecuacion qx+y=q (*BQ*).

La recta AL como es perpendicular a BQ entonces tiene la ecuacion -x+qy=cte. Pero como A esta en la recta entonces -0+0q=cte, sea la recta AL entonces tiene la ecuacion -x+qy=0 (*AL*)

La recta BK es perpendicular a AR porlotanto tiene la ecuacion x+ry=cte_2. B esta en esa ecuacion porlotanto 1+0r=cte_2, porlotanto la ecuacion de BK es x+ry=1, osea x+ry=1 (*BK*).

Tenemos que K es la interseccion de BK y AR entonces K cumple (*BK*) y (*AR*).

Saltandonos el algebra trivial, tenemos que K=(1/(r^2+1),r/(r^2+1)).

Por metodos similares sacamos que L=(q^2/(q^2+1),q/(q^2+1))

Tenemos que S=(0,s) y cumple (*BK*) y T=(1,t) y cumple (*AL*) asi que resolviendo tenemos que S=(0,1/r), T=(1,1/q).

Para demostrar que P, K, L son colineales tenemos que demostrar que las pendientes de PK y PL son las mismas porque asi PK y PL serian paralelas y como comparten P serian la misma. Similarmente para demostrar que P, S, T son colineales tenemos que demostrar que las pendientes de PS y PT son las mismas.

La pendiente de PK es (p-1/(r^2+1))/(0-r/(r^2+1))=-(pr^2+p-1)/r

La pendiente de PL es (p-q^2/(q^2+1))/(0-q/(q^2+1))=-(pq^2+p-q^2)/(q). Ahora sustituimos q=rp/(p-1) y tenemos que la pendiente es -(p(rp/(p-1))^2+p-(rp/(p-1))^2)/(rp/(p-1)) y expandiendo y eliminando nos da que es igual a -(pr^2+p-1)/r. Porlotanto PK y PL son paralelas y como comparten P deben ser la misma linea.

La pendiente de PS es (p-0)/(0-1/r)=-rp

La pendiente de PQ (p-1)/(0-1/q)=(-p+1)/q=(-p+1)/((p-1)/(rp))=-rp porlotanto PS y PQ son paralelas y entonces tienen que ser la misma linea.

Fernando Añorve: respuesta al problema de navidad

Problema de fin del 2010 (Re: A nasty problem)

Para los que quieren empezar 2011 con un buen reto. Este problema nadie lo resolvio en el ciclo olimpico anterior, veremos si en este hay mas suerte.


Tienen 32 números naturales tales que a_1+a_2+a_3+.......+a_32 = 120

Todas las a's pertenecen al conjunto {1,2,3,4,...........,59,60}

Demostrar que puedes encontrar 2 colecciones disjuntas (particiones) de los 32 números, tales que la suma de los elementos de una colección es igual a la suma de los elementos de la otra.

Panda

Regalo de Navidad

Pues acá les dejo un problema de regalo de Navidad jaja, para que vayan calentando...

En una recta $l$ hay tres puntos $A,B,P$, en ese orden. Sean $a$ y $b$ rectas perpendiculares a $l$ en $A$ y $B$, respectivamente. Una línea que pasa por $P$, distinta de $l$, intersecta a $a$ en $Q$ y a $b$ en $R$. La perpendicular a $BQ$ que pasa por $A$ corta a $BQ$ en $L$ y a $BR$ en $T$. La perpendicular a $AR$ que pasa por $B$ corta a $AR$ en $K$ y a $AQ$ en $S$.

(a) Demostrar que $P,T$ y $S$ son colineales.

(b) Demostrar que $P,K$ y $L$ son colineales

Competencia de Invierno 2010-2011: Examen # 1

Limite para publicar respuestas: 10:30PM (30 minutos)

En los comentarios de este mismo post publicaran las respuestas, la primera respuesta publicada correcta sera la que reciba los puntos. Respuestas incorrectas publicadas antes de la primer respuesta correcta, recibirán puntos negativos.
___________________________________

Problema #1

$a + \frac{1}{b}=4$, $b + \frac{1}{c}=1$,$c+ \frac{1}{a}=\frac{7}{3}$;  encontrar el valor de $abc$  si $a,b$ y $c$ son reales positivos

Problema #2

En el triangulo $ABC$,$AB = 2$, $BC = 4$; el lado $AC$ y la mediana $BD$ miden lo mismo; encontrar el valor de $AC$

Problema #3

Un circulo con centro en A de radio 1 y un circulo con centro en B de radio 4 son tangentes exteriormente. Un tercer círculo es tangente a los primeros 2 y a una de sus tangentes exteriores comunes. Encontrar el radio del tercer círculo.

Problema #4

Cuantos números de 4 digitos $N$ tienen la propiedad de que si eliminas el 1er digito (el de la izquierda), el numero resultante de 3 dígitos es $\frac{1}{9}$$N$

Problema #5

Un cuadrado y un triangulo equilatero tienen el mismo perímetro. Sea  el area del circulo circunscrito al cuadrado y  el área del circulo circunscrito al triangulo. Encontrar .

Problema #6

Un pano contiene los puntos  y  con . Sea  la union de todos los discos de radio  en el plano que cubren . Cual es el area de ?

Problema #7

Tres esferas mutuamente tangentes de radio  están sobre un plano horizontal. Una esfera de radio 2 esta sobre las 3 esferas. Cual es la distancia del plano a la cima de la esfera grande?

Problema #8

Sea . Para cuantos polinomios  existe un polinomio  de grado 3 tal que ?

Problema #9

Una linea pasa a través de  y . Cuantos puntos con coordenadas enteras estan en la linea estrictamente entre  y ?

Problema #10

Un numero se llama cuasi-primo si es compuesto pero no es divisible por  o 5. Los 3 cuasi-primos mas pequeños son , y . Hay  números primos menores que . Cuantos cuasi-primos hay menores que ?

Problema #11

Cuantos subconjuntos no vacíos  de  tienen las siguientes 2 propiedades?

 No existen 2 números consecutivos en .

 Si  contiene  elementos, entonces  no contiene ningún numero menor a .

_______________

Los que se quieran quedar a comentar las respuestas correctas son bienvenidos aquí en el blog después de las 10:30PM o por Skype

Panda

Competencia de Invierno en el blog

La primera se llevara a cabo este Lunes 27 de Diciembre a las 10PM (tiempo de el centro), con duración de entre 30 minutos y 1 hora.

Tienen que entrar con la cuenta con la cual se registraron en el blog, puesto que esta dirigida solo para los primeros lugares (pre-IMOs) y el blog estará abierto solo para autores y estará bloqueado para todos los demás.

La idea es ponerles una serie de problemas que tengan respuesta numérica o que tengan respuesta clara (i.e. el conjunto de las potencias de 3). Cada problema valdrá 1,2 o 3 puntos pero ustedes no sabrán su valor, en los comentarios del examen escribirán sus respuestas, tienen que escribir el numero del problema Y la respuesta, el primero que la escriba correctamente es al que se le otorgan los puntos, si su respuesta es errónea se les otorgaran puntos negativos.
Pueden empezar a trabajar en el problema que quieran al empezar el examen, por ejemplo si se publican 20 problemas, pueden intentar (por estrategia) empezar con el 17 y luego el 8 o como quieran, también pueden ir viendo cuales ya están comentados y si creen que la respuesta de esos es correcta pues ya trabajar en otro.

Hay un codigo de honor al participar, entre otras cosas incluye trabajar individualmente, no intercambiar informacion ni hablarse entre ustedes en el momento del examen (por MSN, Skype, celular, etc); asi como tampoco ponerse a "Googlear" los problemas para buscar la solución o cualquier otra cosa que implique hacer trampa o agarrar ventaja  desleal en el examen.

Habra ganadores en cada concurso y el campeón de invierno sera aquel que logre la mayor cantidad de puntos entre los 8 concursos de invierno.

Cualquier situación no contemplada por el momento la resolverá el jurado organizador :)

Bueno, escriban sus preguntas y comentarios antes del examen del Lunes

Panda

Calificaciones hasta ahora

Problemas 1, 2, 3 y 6 para centros
Problemas 2, 3, 4 y 6 para primeros

Nombre Prob1 Prob2 Prob3 Prob4 Prob 5 Prob 6 Prob 7 Prob 8
Zyanya Irais Martínez Tanahara 7 5 1 5
Gustavo Humberto Vargas 7 7 0 2
Enrique Chiu Han 6 7 6 7
Joshua Ayork Acevedo 7 7 7 4
Adán Medrano Martín del 7 7 7 7
Juan Carlos Ortiz Rhoton 7 7 6 7
Angel Adrián Dominguez 6 7 1 3
Edson Gabriel Garrido 7 7 2 0
Flavio Hernández González 7 7 7 7
Karina De la Torre Sáenz 7 1 7 3
Enrique Chiu Han 7 6 7 7
Fernando Serrano Crotte 7 7 3 1
Jorge Garza Vargas 7 7 7 7
Adán Medrano Martín del 7 7 3 7
Jorge Ignacio González 7 7 7 4
Manuel Alejandro Espinosa 7 7 7 3
Daniel Perales Anaya 7 7 7 7
Georges Belanger Albarrán 7 7 7 7
María Natalie Arancibia Alberro
Angel Adrián Dominguez Lozano 7 1 1 3
Diego Alonso Roque Montoya 7 7 7 7
Fernando Josafath Añorve López 7 7 7 3
José Naín Rivera Robles 7 7 7 7
José Ramón Guardiola Espinosa 7 7 7 7

Comentario

Hola a Todos

Me llamo mucho la atencion el comentario de Jorge Chuck (que no se quien es, de hecho me gustaria que cada quien pusiera su nombre para saber quienes son), pues dice que como son vacaciones no estara muy atento al blog .... esta es la actitud que precisamente no deseamos en ustedes, pues mientras ustedes estan de vacaciones, en Canada por ejemplo, se entrenan a todo vapor en la casa.

Despues el pretexto será que no van a tener tiempo porque estan en la escuela o cosas por el estilo. Hay cambiar su mentalidad, de que no estan preparandose para competir entre ustedes en mayo, sino se estan preparando para competir en julio en la IMO. Esto que planea David para la semana que viene, pronto sera algo regular que impactara directamente en su historial para mayo, asi que si no estan "atentos" al blog serán puntos menos para ustedes.

Esto del blog es con la finalidad de cambiar esa actitud que algunos de ustedes tienen de que solo trabajan durante los entrenamientos y despues se olvidan por seis semanas, la idea es que los que mas se preparen, los que mas ganas tengan, son los que van a sacar medallas de plata y de oro en la IMO.

Mañana pongo las calificaciones del segundo problema del segundo examen.

A que horas se duermen? a que horas se levantan?

Para saber a que horas estaría bien ponerles unos miniconcursos, tambien por favor díganme si tienen Internet en su casa. Estaría bien ponerles unos problemas a las 8AM, que tal a las 10PM?, serian problemas de respuesta rápida así que quizás a la mas se lleve una 1/2 hora cada vez.

Si ya llegaron al blog, say AYE !!, rumbo a la IMO 2011 !!!

Para los Pre-IMOs : En este post escriban AYE en un comentario para saber que llegaron.

Problema del dia 16 de Septiembre

Como es el ultimo dia para poner problemas en el blog, antes de que se vayan a Paraguay, les dejo dos problemas:

1. Encontrar todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ que satisfacen las dos condiciones siguientes:
a) $f(n) f(-n) = f(n^2)$ para toda $n \in \mathbb{Z}$
b) $f(m+n)=f(m) + f(n) +2mn$ para todos $m, n \in \mathbb{Z}$


2. Encuentra todos los enteros positivos $n \geq 2$ tales que para números reales arbitrarios $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ se tiene la siguiente desigualdad
$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2 \geq n (x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_nx_1)$$

Solucion al problema 9 de septiembre

A mi me salio el problema con geometria analitica. jeje.

Problema del día: 14 de septiembre

Se tienen 1000 manzanas, cada una de ellas pesa al menos 25 gramos y entre todas pesan 10 kg. Tienen que ser cortadas de tal manera que le puedas dar 100 gramos a cada uno de 100 niños. Muestra que es posible hacer ésto de tal manera que cada trozo pesa al menos 25 gr.

Solución 9 de septiembre

Sean $S$ y $T$ las intersecciones de $BP$ y $PC$ con $HQ$ y $HR$, respectivamente. Sean $F$ y $G$ las proyecciones de $A$ sobre $CP$ y $BP$, respectivamente. El triángulo $BPC$ es rectángulo porque $MB=MP=MC$. Luego no es difícil ver que

\[\angle BCP=\angle CPM=\angle HPB=\angle BHS= \angle STH=\alpha\]

Lo que pide el problema es equivalente a demostrar que $\angle HRQ= \angle HTS=\alpha$, osea que $ST$ y $QR$ son paralelas. Notemos que $QH$ y $PC$ son paralelas por ser perpendiculares a $BP$. Analogamente $BP$ y $HR$ son paralelas. Ahora nos fijamos en el triángulo BPC y usando semejanzas que obtenemos de las paralelas hacemos:

\[\frac{BS}{CT}=\frac{\frac{BP\cdot SH}{CP}}{CT}=\frac{BP}{CP}\cdot \frac{PT}{CT}=\frac{BP}{CP}\cdot \frac{HT^2}{CT^2}=\frac{BP^3}{CP^3}\]

Por otra parte es fácil ver que AFPG es rectángulo porque es paralelogramo y tiene ángulos rectos, también $\angle APF= \angle CPM=\alpha$ y entonces los triángulos $AFP$ y $BPC$ son semejantes. Luego

\[\frac{AF}{AG}=\frac{AF}{FP}=\frac{BP}{CP}\]

Como los triángulos $FPG$ y $CPB$ también son semejantes se tiene

\[\frac{BG}{CF}=\frac{BP}{CP}\]

Finalmente usando que $QS$ es paralela a $AG$ y $TR$ es paralela a $AF$ se tiene

\[\frac{QS}{TR}=\frac{\frac{AG\cdot BS}{BG}}{\frac{CT\cdot AF}{CF}}=\frac{BS}{CT}\cdot \frac{AG}{AF}\cdot \frac{CF}{BG}=\frac{BP}{CP}=\frac{HS}{HT}\]

Esto implica que $QR$ y $ST$ son paralelas,, como queríamos.

11 de septiembre de 2010

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico circunscrito a una circunferencia. El incírculo del cuadrilátero $ABCD$ toca a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ en los puntos $K$, $L$, $M$ y $N$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos exteriores a $DAB$ y $ABC$ se intersectan en el punto $K$'. Las bisectrices de los ángulos exteriores a $ABC$ y $BCD$ se intersectan en el punto $L$'. Las bisectrices de los ángulos exteriores a $BCD$ y $CDA$ se intersectan en $M$'. Las bisectrices de los ángulos exteriores a $CDA$ y $DAB$ se intersectan en $N$'. Prueba que las rectas $KK$', $LL$', $MM$' y $NN$' son concurrentes.

Problema del dia: 10 de Septiembre

Se consideran 2002 segmentos en el plano tales que la suma de sus longitudes es la unidad. Probar que existe una recta r tal que la suma de las longitudes de las proyecciones de los 2002 segmentos dados sobre r es menor que 2/3.

Problema del día: 9 de Septiembre

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $P$ el punto en el segmento $AM$ tal que $BM = PM$ y sea $H$ el pie de la perpendicular de $P$ a $BC$. Sean $Q$ y $R$ puntos en $AB$ y $AC$ tales que $HQ$ es perpendicular a $PB$ y $HR$ es perpendicular a $PC$. Pruebe que el circuncírculo de $QHR$ es tangente a $BC$ en $H$.

Para Daniel

Que onda Daniel, no te he visto mucho en el blog...

Irving es famoso

Vean este link

http://foros.eluniversal.com.mx/entrevistas/detalles/17227.html

Problema del Día 8 de septiembre

Sea $f(n)$ el número de parejas $(x,y)$ de enteros positivos tales que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$. Demuestra que $f(n) = \tau(n^2)$ donde $\tau(n)$ es igual al número de divisores de $n$.

Problema del dia 7 de Septiembre

Encuentra todas las funciones $f$, de los números reales en los números reales que satisfacen
la ecuación $f(x)f(y) = f(x+y) + xy$ para cualesquiera números reales $x$ y $y$.

Hall of Fame

Aquí les presento como quedo el Hall of Fame de México después de la IMO 2010 y antes de la Ibero. Para que vean cuanto podrían subir con la Ibero. Este hall of fame lo hicimos principalmente Rogelio y yo, con participación amplia de muchos exolimpicos para definir criterios. Cualquier pregunta en los comentarios.

HALL OF FAME (en Google Documents)

Problema del día 5 de septiembre:

Sea n mayor que 1 y sea X un conjunto con n elementos. Sean A_1, A_2,..., A_n subconjuntos de X tales que la unión de cualesquiera 50 de ellos tiene más de (50/51)n elementos. Demuestra que es posible elegir tres de estos subconjuntos tales que cualesquiera dos de ellos tienen intersección no vacía.

Conjuntos en una cantidad impar de subconjuntos.

Denotamos por P(S) al conjunto de los subconjuntos de S.

Tomemos N={1,2,...,n}. La función f:P(P(N)) - > P (P(N)) manda un subconjunto de subconjuntos C al subconjunto de subconjuntos que están contenidos en una cantidad impar de elementos de C.
Por ejemplo, si N={1,2,3} y C={{1},{2},{1,2},{1,3},{1,2,3}}, entonces f(C)={vacío, {2},{23},{123}}, pues {2} está contenido en una cantidad impar de elementos de C (en {2}, {1,2} y {1,2,3}), y así con el resto.

Demuestra que f(f(C))=C.

Hola. Para quienes ya conocían el problema de geometría que les puse, aquí les va este:

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, sean $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$, respectivamente. Sea $P$ la intersección de $EF$ con $BC$. Por el punto $D$ trazamos una paralela a $EF$ que corta a $AB$ y $AC$ en $Q$ y $R$, respectivamente. Si $M$ es el punto medio de $BC$, pruebe que $MPQR$ es un cuadrilátero cíclico.

Problema del 1 de septiembre

Demostrar que si a^n+n divide a b^n+n para todo n entonces a=b.

Solución del 2 de sep

Aplicamos inversión con centro $F$ y como los circuncírculos de $BCF$ y $DEF$ son tangentes, entonces las rectas en las que se invierten son paralelas, lo mismo pasa con las circunferencias $BEF$ y $CDF$. Entonces $B_1E_1D_1C_1$ es un paralelogramo. Luego $\angle BCD= \angle BED$ pero $\angle BCD= \angle BCF+ \angle FCD$ y $\angle BED= \angle BEF+ \angle FED$. Luego sabemos que para cualesquiera puntos $X, Y \neq F$ se tiene $\angle FXY= \angle FY_1X_1$. Entonces

\[\angle FB_1E_1+\angle FD_1E_1=\angle FB_1C_1 + \angle FD_1C_1\]

Pero como $B_1E_1D_1C_1$ es paralelogramo también

\[\angle FB_1E_1+\angle FB_1C_1=\angle FD_1E_1 + \angle FD_1C_1\]

De donde

\[\angle FB_1E_1= \angle FD_1C_1\]

de esto se concluye fácil que $B_1,F,D_1$ son colineales. Por otra parte $BE$ se invierte en $\Gamma_{1}$, el circuncírculo de $B_1E_1F$ y $CD$ se invierte en $\Gamma_{2}$, el circuncírculo de $C_1D_1F$. Entonces $A_1$ es la intersección de $\Gamma_{1}$ y $\Gamma_{2}$ con $A_1\neq F$. Usando cíclicos y paralelas:

\[ \angle FA_1C_1+ \angle FA_1E_1= \angle FD_1C_1+(\pi -\angle FB_1E_1)=\pi\]

Entonces $C_1, A_1$ y $E_1$ son colineales y por lo tanto $F,C,A$ y $E$ son concíclicos.

2 de septiembre de 2010

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC < \angle ACB$. Sean $D$, $E$ puntos sobre los lados $AC$ y $AB$ tal que los ángulos $ACB$ y $BED$ son congruentes. Si $F$ es un punto en el interior del cuadrilátero$BCDE$ tal que el circuncírculo del triángulo $BCF$ es tangente al circuncírculo de $DEF$ y el circuncírculo de $BEF$ es tangente al circuncírculo de $CDF$, prueba que los puntos $A$, $C$, $E$ y $F$ son concíclicos.

Problema 31 de Agosto 2010

Demostrar que para cada numero natural n hay una potencia de 2 cuya expresion decimal tiene entre sus ultimos n digitos (de la derecha)mas de (2/3)n - 1 digitos que son iguales a cero.

Dada una circunferencia $K$, considere un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $K$, con $AD$ tangente a $K$ en $P$ y $CD$ tangente a $K$ en $Q$. Sean $X$ e $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $K$ y sea $M$ el punto medio de $XY$. Demuestre que $\angle AMP = \angle CMQ$

Resultados de los examénes selectivos para la ibero

Prob 1 Prob 2 Prob 3 Prob 4 Prob 5 Prob 6 Prob 7 Prob 8 Prob 9
Daniel 7 7 6 7 7 7 7 7 7 62
Flavio 7 7 6 7 7 7 7 7 6 61
Irving 7 0 7 7 2 7 7 7 7 51
Manuel 7 1 4 7 2 7 7 7 3 45
Georges 7 0 4 7 5 0 7 7 2 39
Jose Luis 7 1 0 7 1 0 7 7 1 31

Acerca del posible lugar de Mexico en la ibero.

Acerca de la discusion entre David y Georges en torno al analisis de este ultimo y de como
son los procesos en otros paises para elegir delegaciones, me gustaria remarcar varias cosas.

1. Les pedia que realistamente me dijeran el lugar en el que Mexico debe quedar en la ibero, basados en varias cosas, como ya lo apunto Georges, pero se les olvida una cosa, cuando Mexico gano la ibero en el 2006, entre los cuatro de la delgacion mexicana estaban Pablo, Joshua e Isaac, que si mal no recuerdo estan en el top 4 del Hall of Fame que hizo David. (Por cierto le pedimos de favor a David que nos mande el Hall of Fame actualizado para ver el lugar de Daniel)

2. Por mucho tiempo se ha pensado que Brasil tenia ventaja en la ibero (y no me acuerdo que otro pais) pues en sus delegaciones llevan estudiantes que ya llevan al menos seis meses en la licenciatura (algunos de ellos en el IMPA), esto porque las reglas de la ibero asi lo permiten. Claro que esto puede debatirse pues Mexico les gano en el 2006 y Peru en el 2009.

3. No se si se puede decir que otros paises no llevan sus mejores delegaciones a la ibero, pues sus procesos y reglamentos para asistir son diferentes, asi como el de nosotros. Ejemplo, hay varios paises donde los cuatro mejores de la IMO (que puedan participar) califican directamente a la ibero, sin embargo, en Argentina su reglamento creo que no permite llevar exactamente los mismos participantes, solo algunos.

4. Otros paises quieren llevar delegaciones diferentes a la IMO, Ibero y centro para darle mas oportunidad a mas estudiantes pero esto no significa que manden los mejores estudiantes a la IMO.

Acerca del problema del 17 de agosto

Perdon por el error, la traduccion del ruso al ingles de la redaccion del problema estaba mal, asi que tuve que buscar alguien que me tradujera el problema en ruso. Tienen razon cada par de ciudades conectadas se interpreta como una aerolinea diferente.

Georges, Flavio e Irving interpretaron el problema correctamente y resolvieron bien la desigualdad, sin embargo los tres estan mal en la parte de la condicion para la igualdad o al menos les faltan considerar casos donde se da la igualdad.

Jose Luis, Manuel y Daniel tienen tache pues ni siquiera comentaron.

Solución problema 16 de agosto

Informacion del Entrenamiento en Cuernavaca (Alumnos y Entrenadores)

Hola a Todos

El entrenamiento sera en la Facultad de Ciencias de la UAEM y el hospedaje sera en el hotel Villa Calmecac, toda la informacion la pueden encontrar en

www.villacalmecac.com

Los examenes selectivos seran
domingo 22, martes 24 y jueves 26, todos por la MANANA

Saludos

Rogelio

Problema del 17 de agosto

En cierto pais hay $n$ ciudades, algunas de las cuales estan conectadas
por aerolineas que van de ida y vuelta. Hay $m$ aerolineas diferentes en total.
Para $i=1, 2, \dots, n$, sea $d_i$ el numero de aerolineas que salen de la ciudad $i$. Si
$1 \leq d_i \leq 2010$ para cada $i=1, 2, \dots, 2010$, muestra que
$$\sum_{i=1}^n d_i^2 \leq 4022m - 2010n.$$

Encuentra todos los $n$ para los cuales la igualdad se alcanza.

Problema del 16 de agosto (unas horas tarde)

Hola,

Les dejo este problema:

"En un círculo se escriben números rojos y números azules. Cada número rojo es la suma de los dos números que están a sus lados, y cada número azul es la mitad de la suma de los números que están a sus lados. Demuestra que la suma de los números rojos es cero."

Al rato checo para ver si ya les salió o dejo una sugerencia,

Saludos,

Pablo

Triángulos rectángulos congruentes

Hola a todos, mucho ánimo con los entrenamientos. Les dejo el siguiente problema:

Se comienza con cuatro triángulos rectángulos congruentes. En un paso, es permitido tomar uno de ellos y cortarlo por la altura a la hipotenusa, obteniendo así dos nuevos triángulos (y perdiendo el anterior).

Demuestra que sin importar que pasos hagas, siempre habrá dos triángulos congruentes.

Problema del 15 de agosto

Prueba que cada numero entre 1 y n! puede ser escrito como la suma de a lo mas n divisores distintos de n!

Varias Cosas

Hola a Todos

Se que en los ultimos dos dias no hubo problemas, espero que esto se restablezca pronto, es decir, espero que hoy ya tengan problema para trabajar.

Acerca de sus comentarios, bueno, creo que Jose Luis solo dije Aye y despues ya no ha tenido ninguna participacion en el blog, no se que pasa con el.

Acerca de la pregunta que les hice acerca de lo minimo que se debe sacar en la ibero, respondieron Georges, Irving, Manuel y Daniel y todos coincidieron en plata. Los que no dijeron nada fueron Jose Luis (de hecho no ha participado) y Flavio (que sabemos que esas cosas no son importantes para el)

Ahora la pregunta es la siguiente: siendo realistas, basados en la historia de la ibero y en los resultados de la IMO, en que lugar debe quedar Mexico como pais en la ibero?

Problema del día 11

(Este es el problema que Fer no pudo poner en una nueva entrada)

El problema del día 11 es el siguiente:
Probar que la secuencia 1, 11, 111,... contiene una subsecuencia de primos relativos por parejas.

Problema del día 11 de agosto de 2010

Fer escribio un comentario en el problema del 10 de agosto que dice:

Hola, se que esto no va aquí pero tengo problemas para acceder.El problema del día 11 es el siguiente:Probar que la secuencia 1, 11, 111,... contiene una subsecuencia de primos relativos por parejas.

Lo pongo aqui para que todos lo vean
Saludos

Problema del día 12 de agosto de 2010

Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ tal que $\angle APC=120$. Sea $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $AP$ con $BC$. Encuentra el lugar geométrico de los circuncentros de los triángulos $MBN$ cuando $P$ varía.

Resultados de Mexico en la ibero

Hola a Todos

Como David (el pajon mayor) se encuentra perdido en Montana con rumbo a Saskatchewan, me toca hacerles la primera pregunta acerca de la ibero, segun cada uno de ustedes, cual debe ser el resultado del alumno de Mexico que quede en el cuarto lugar entre los cuatro que van representando a Mexico.

Donde esta Daniel?

Me gustaria saber si alguien sabe algo de Daniel
pues no ha aparecido en el blog

Problema del Dia 10 de Agosto

Encuentra los últimos tres dígitos de $2003^{2002^{2001}}$.

Solucion al problema 09 de agosto

Problema 9 de Agosto!!! We're back!!!

Sea $ABC$ un triángulo con $CB\neq AC$ y con el ángulo $\gamma=\angle ACB$ agudo dado, y sea $M$ el punto medio de $AB$. Se elige el punto $P$ del segmento $CM$ de modo que las bisectrices de los ángulos $\angle PAC$ y $\angle PBC$ se intersecten en un punto $Q$ sobre $CM$. Hallar la medida de los ángulos $\angle APB$ y $\angle AQB$.



Les mando un saludo a todos y bienvenidos quienes no habían estado trabajando en el blog!!!

identidad desconocida

Quien es Felipe?

Guia para usar LaTeX

 Tomado directamente del blog de la olimpiada en Chihuahua:

Para poner un codigo en LaTeX basta ponerlo entre signos de $, si lo pones entre doble signo de $ saldra en linea pero con letra mas grande y para ponerlo grande y centrado hay que ponerlo asi hay que ponerlo asi: $\backslash [ codigolatex \backslash]$ (en este caso no es necesario usar signos de pesos)

Aqui hay una guia en otro sitio que esta muy buena http://www.matetam.com/de-consulta/acordeones/latex

Si ves alguna expresión matemática en este blog y quieres saber como se escribió, solo basta poner el cursor encima de la expresión matemática y saldrá el código LaTeX que se usó para esa formula.

Aqui un ejemplo:
\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Es la formula general para las ecuaciones cuadráticas, es decir de la forma $ax^2+bx+c=0$

Pueden hacer experimentos con los comentarios de este post.

Ademas aqui esta una pagina con mas ejemplos:
http://www.watchmath.blogspot.com/ 

Usuarios mas experimentados con el uso de $$\LaTeX{}$$ seria bueno que pusieran algunos tips.

Isaí Vázquez

llege

AYE,

Ahora rumbo a la Ibero !!! Say AYE si ya llegaron al blog ....

AYE !

Probando LaTeX

$\LaTeX{}$
$$\LaTeX{}$$
\[\LaTeX{}\]

 Le instale $\LaTeX{}$ al blog, funciona y tambien en los comentarios!

Ahora si van poder publicar soluciones mas agusto para cuando entrenen para la Ibero.

Saludos.

Isaí Vázquez

Conjugados isogonales.

Pongo esto en una nueva entrada porque tal vez ya no vean los comments del problema que puso Hugo. Pues la segunda parte del problema, la que no nos había salido a nadie no era tan complicada usando conjugados isogonales. La verdad yo había escuchado el nombre y tenía alguna idea de lo que eran, pero no sabía bien que ni cómo se podían aplicar para resolver problemas. Es algo que se puede mostrar fácil usando Ceva trigonométrico, pero creo que es conveniente que todos lo sepamos (creo que algunos ya lo conocían) para aplicarlo directo, sin que se te tenga que ocurrir en lugar de eso usar Ceva trigonométrico. Es como si no supieramos potencia y siempre usáramos semejanza, que a veces es más difícil que se ocurra.

Entonces dejo acá dos links para que lo lean los que no saben de esto.

Conjugados Isogonales

Isogonal Conjugate

Problema del Día: 15 de junio

Cada entero positivo se colorea de azul o rojo. Muestra que existe una sucesion estrictamente creciente de enteros positivos a_1, a_2, ... tal que

a_1, (a_1+a_2)/2, a_2, (a_2+a_3)/2, a_3, ....

es una sucesion de enteros positivos del mismo color.



(Selectivo de China, nivel 3 o 6 de IMO)

Ser el mejor de México

El post de Leo me dejo pensando bastante, sobre el hecho de que uds también compiten contra ustedes mismos y el que traten de ganarse y ser el mejor de México, me quede pensando "aquí esta la solución al top 20", si los 6 hicieran el papel que hace el que sale mejor de todos, seguramente la mayor parte del tiempo quedaríamos top 20, si la desviación estandar fuera mínima y todos se concentraran alrededor de la que sera la puntuación mas alta del equipo, difícil no sacar top 20. Por que no puede ser así? Por que debe haber alguien o algunos que nos van a bajar el promedio como delegación? Esto tiene que ser así? Necesariamente en cada IMO tiene que haber Mexicanos que van a salir bastante mal? es acaso una verdad natural ante la que no podemos hacer nada?

En particular yo creo que si hay diferencia entre ustedes, lo que no creo es que estas diferencias sean SIGNIFICATIVAS, especialmente en un evento donde SOLO se califican 2 examenes; no es como el mundial donde Brasil tiene mucho mas probabilidad de ganar la copa que Corea del Norte, entre ustedes, aunque es posible asignarles probabilidades de éxito y esto solo como un ejercicio intelectual, no creo que los números marcaran gran diferencia. O acaso hay alguno de ustedes que crea que su nivel es tan diferente de los demás que le es imposible ser el mejor de México?

Quien de ustedes cree que tiene la capacidad para ser el mejor del país en esta IMO? Quien de ustedes cree que eso es imposible y porque?

Por favor contesten muchachos, su participación aunque quizás no lo vean claro ahorita es fundamental para su preparación y no solo eso, nos ayudara para saber que hacer con futuras generaciones, tenganme confianza en que esto es importante, el poco tiempo que dediquen aquí tendrá connotaciones mas allá de esta olimpiada, créanme, en el peor de los casos perderán unos minutillos, pero en el mejor ayudaran a la preparación de futuras generaciones de olímpicos; y contesten con la verdad, nada de falsas modestias o respuestas políticas.

Les repito:

Quien de ustedes cree que tiene la capacidad para ser el mejor del país en esta IMO? Quien de ustedes cree que eso es imposible y porque?

Problema del 29 de mayo (Numero 18 en la lista de leo)

Un poco tarde, pero aqui esta:
solucion

Solucion a 'Desigualdad (Irving)'(Problema 17 de la lista de leo)

Enunciado:

Sean x,y,z reales positivos, demostrar que

81xyz(x^2+y^2+z^2) (menor o igual a) (x+y+z)^5

solucion

Solucion al 'Problema de lista corta(de Irving)' (numero 10 en la lista de leo)

Enunciado:
Considera el sistema:
x + y = z + u
2xy = zu
Encuentra el maximo valor de la constante real m tal que m (menor o igual a) x/y para cada solucion entera positiva x, y, z, u del sistema y con x (mayor o igual a ) y.
Solucion

Lista de problemas

Estaba dándole una repasada al blog y me di cuenta que hay varios problemas que aún no tienen solución, y algunos que ni siquiera han sido comentados. Les dejo una lista con los problemas que tenemos hasta ahora en el blog, junto con una lista de las personas que han escrito su solución.

Pueden usarla también como checklist personal de lo que han intentado, de lo que han resuelto y de lo que ya saben cómo se resuelve. Sigan intentando lo que no ha salido, repasen los trucos aprendidos y a la vez aprendan de sus compañeros. Idealmente ya ningún problema parecido a estos les deberá presentar ninguna dificultad. Si no entienden, pregunten. Si saben algo útil, coméntenlo. A la IMO van a competir contra todos, incluso contra ustedes, así que háganse entre ustedes mismos rivales dignos de ser vencidos. Lleven a México a los mejores equipos y, entonces sí, compitan entre ustedes por ser el mejor de los mejores.

Lista de problemas (búsquen abajo a la derecha, donde dice "click here" en azul)

Unos y partes distintas en particiones

Para una partición P de un número, definimos A(P) como la cantidad de unos que aparecen en P y B(P) como la cantidad de números distintos en P. Demuestra que para cualquier n fija la suma de las A(P) sobre las particiones de n es igual a la suma de las B(P) sobre las particiones de n.

Problema del día: 13 de junio.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos (a,b) tales que 2ab²-b³+1 divide a a².

Problema del Dia 11 de junio

Demuestra que si tienes un triángulo en el plano cartesiano cuyos tres vértices tienen coordenadas enteras, entonces uno de los lados es mayor a la raíz cúbica de R, el circunradio.

Problema del día 10 de junio de 2010

En un cuadrilátero convexo ABCD, la diagonal BD no es bisectriz del ángulo ABC ni del CDA. Sea P un punto dentro del ABCD tal que

ang(PBC) = ang(DBA) y ang(PDC)=ang(BDA).

Prueba que ABCD es un cuadrilátero cíclico si y sólo si AP = CP.

Tiempo para resolver un problema y trucos

Creo que Pablo, Fernando, Chino, Niño, Leonardo, etc., podrian aportar mucho
acerca de la sugerencia de poner trucos favoritos que aparecen en algunos
problemas de IMO, y dijo que ellos, pues son lo que tienen experiencia mas reciente
en problemas IMO, pero si alguien tiene truco favorito lo deberia escribir en el blog.

Yo se que Pablo se sabe varios, pero me entere que anda ocupado pues se acerca su
examen profesional de matemáticas, así que no se si tenga tiempo.

En mi caso, uno de mis trucos favoritos es usar la identidad algebraica cubica que viene en la seccion de la desigualdad util del libro de desigualdades, con esta he resuelto varios problemas
de olimpiada, por ejemplo, la solucion corta (por la cual le deberian quitar el premio a Diego =) de la centro ) del problema 5 de la centro, que al parecer nadie vio pues no recibio ningun coment, aun cuando la solucion se escribe en pocos renglones en el archivo pdf.


Acerca de cuanto tiempo dedicar a un problema, pensando en la IMO, un tiempo razonable para hacer el problema 1 deberia ser menos de una hora, esto les daría mas tiempo para atacar problemas 2 y 3. Igualmente, el problema 4 lo deberian resolver en maximo una hora.
Claro que ahora en los problemas del blog, tienen mas tiempo, desde horas hasta dias, pero creo que si es una buena idea no quedarse mucho tiempo con un problema, y mejor ver la mayor cantidad posible de problemas.

Un poco para entrenarlos en esto del tiempo, ahora en Morelia habra varios examenes Mock tipo IMO, en los cuales tendran el mismo tiempo que en la IMO para resolverlos, esto para que vayan acostumbrandose a la presion del examen, es lo que se me ocurre ahora, que los puede ayudar a administrar el tiempo y para ver que si intenten sacarle puntos a todos los problemas.

Problema 9 de junio

Sea x un real tal que las desigualdades 0 < (2002^1/2) - a/b < x/ab se verifica para infinitos pares (a,b) de naturales. Demostrar que x es mayor o igual que 5.

Alguien sabe...

como es el 'SOS method' para desigaldades? o que almenos tenga algun archivo o conosca de donde puedo sacar un archivo para aprender el metodo

Cuánto hay que dedicar a los problemas??

Me gustaría que nos tomaramos un par de minutos para discutir algo en lo que yo había pensado hace algunos días, quisiera saber qué opinan todos de esto: Ya tenemos el tiempo encima, en menos de un mes nos vamos a la IMO y lo que necesitamos ahora es aprovechar estos días que quedan al máximo, aprender nuevas cosas, trucos, etc. Todos sabemos que lo mejor es resolver muchos problemas, pero creo que hay algunos que tal vez simplemente no nos van a salir porque no conocemos el truco que se tiene que usar (digo esto por ejemplo, por el problema 3 de Canadá, yo creo que a mi no me hubiera salido porque nunca había hecho o intentado eso de acomodar los números para que cumplan que su suma quede en tal intervalo, la forma de concluir es más estándar, pero el paso clave era el anterior). Creo que hay que dedicar siempre suficiente tiempo a los problemas, no se aprende casi nada simplemente leyendo soluciones. Pero mi pregunta es, cuánto es suficiente tiempo considerando nuestra situación?? Yo pienso que en estos momentos no sería muy conveniente ponerte a intentar todos los problemas hasta que te salgan, o si? Porque incluso puedes tardar más de un día para tener la solución, o a veces ni logras llegar a una y creo que intentando el problema un tiempo razonable, digamos sólo por dar un número, 2 horas, si no te sale y lees las primeras líneas de la solución, te da una idea de cómo atacarlo y así poder avanzar. Además en el camino vas aprendiendo nuevo trucos, a veces aprendes más que si hubieras resuelto el problema por tu cuenta, porque cuando haces ésto por lo general usas teoremas y trucos que ya conocías. Bueno, no sé qué opinen los demás.

Problema del día: Junio-8-10

Primero, repetiré el que ya puse, puesto que nadie lo ha resuelto ,(si es un problema nasty de verdad), no soy muy fan de ponerle dificultad a los problemas, puesto que por lo regular tienden a reflejar mas que tanto batallo el que lo propuso que la dificultad del problema en si, pero si me preguntaran diría que es como un problema 3 (6?) de IMO (o sea que yo batalle mucho)
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Tienen 32 números naturales tales que a_1+a_2+a_3+.......+a_32 = 120

Todas las a's pertenecen al conjunto {1,2,3,4,...........,59,60}

Demostrar que puedes encontrar 2 colecciones disjuntas (particiones) de los 32 números, tales que la suma de los elementos de una colección es igual a la suma de los elementos de la otra.

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Y ahora si el problema correspondiente al día de ahora:

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Demostrar que enteros no negativos a ≤ b satisfacen  (a² + b²) = n²(ab + 1)   con n entero positivo, si y solo si son términos consecutivos en la sucesión  a_k  definida por  a₀ = 0,  a₁ = n,  a_k+1 =  n² a_k - a_k-1
El nivel de este es como de un problema 5 de un nacional de Canadá (que solo tiene 5 problemas)
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Y si ese ya lo hicieron ahí les va otro, nivel 3 de 5 de Canada:
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Demuestra que en cualquier sucesión de 2000 enteros cuyo valor absoluto no excede 1000 tales que su suma es 1, podemos encontrar una subsucesion de uno o mas términos cuya suma es 0.
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Y si este también ya lo hicieron, pues mejor, así tienen mas tiempo para el de las particiones.