jueves, 29 de junio de 2017

Determina si existe un entero positivo $m$ tal que la ecuación \[ {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over abc}={m\over a+b+c} \] tiene una infinidad de soluciones en los enteros positivos $a$, $b$, $c$.

viernes, 23 de junio de 2017

Difícil y aburrido

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con ángulo recto en $C$ y $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto sobre el segmento $CD$. Sean $K$ y $L$ puntos en los segmentos $AX$ y $BX$ respectivamente tales que $BK = BC$ y $AL = AC$. El circuncírculo de $DKL$ intersecta al segmento $AB$ por segunda vez en $T$. Muestra que $\angle ACT = \angle BCT$.

Secuencia difícil

Hola, me encontré este problema ayer y se me hizo bastante difícil e interesante así que quiero compartirlo con ustedes.
Sea {a_n}, para $n \ge 1$ una secuencia de enteros positivos que satisface $ 0 < a_{n+1} - a_n < 2017$ para todos los enteros positivos $n$. Demuestra qué hay infinitas parejas $(p,q)$ tales que $a_p$ divide a $a_q$.

martes, 20 de junio de 2017

Martes de Combi (¡En martes!)

Hola Chicos

Hoy no les quedo mal.

Sean $a,b$ dos números naturales distintos. El conjunto $\{ x, y, z \}$, con x < y < z se dice $(a,b)$-adaptado si $\{z-y, y-x\} = \{ a, b \}$. Prueba que el conjunto de números naturales puede escribirse como unión de conjuntos $(a,b)$-adaptados disjuntos.

lunes, 19 de junio de 2017

Problema del sabado 17 de junio

Muestra que un torneo con 799 equipos, existen 14 equipos tales que, cada uno de los primeros 7 equipos han ganado el juego en contra de cada uno de los últimos 7 equipos.

domingo, 18 de junio de 2017

Jueves de Geometría en Viernes (mas compensación)

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Las rectas $BH$ y $CH$ cortan a $AC$ y $AB$ en
$D$ y $E$, respectivamente. El circuncírculo de $\triangle ADE$ corta el circuncírculo de $\triangle ABC$ en $F \neq A$. Demuestra que las bisectrices internas de $\angle BFC$ y $\angle BHC$ se cortan en un punto sobre el segmento $BC$.

2. Dos circunferencias $C_1$ y $C_2$, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, se cortan en dos puntos $A$ y $B$. Sean $X$ e $Y$ puntos sobre $C_1$ distintos de $A$ y $B$. Las rectas $XA$ y $YA$ cortan a $C_2$ nuevamente en $Z$ y $W$ respectivamente. Sean $M$ el punto medio de $O_1 O_2$, $S$ el punto medio de $XA$ y $T$ el punto medio de $WA$. Demostrar que $MS = MT$ si y sólo si $XYZW$ es cíclico.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el que se han trazado las alturas $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$. Sea $A_2$ un punto del segmento $AA_1$ tal que $\angle BA_2C=90^\circ$, se definen análogamente los puntos $B_2$ y $C_2$. Sea $A_3$ el punto de intersección de los segmentos $B_2C$ y $BC_2$, se definen análogamente los puntos $B_3$ y $C_3$. Pruebe que los segmentos $A_2 A_3$, $B_2B_3$ y $C_2 C_3$ son concurrentes.

miércoles, 14 de junio de 2017

Martes de combi (en miércoles otra vez)

Hola chicos.

Una disculpa nuevamente por el desfase en la publicación.

Determina el mínimo y máximo número de triángulos orientados (triángulos en los que las aristas forman un ciclo siguiendo el orden de las flechas) que pueden encontrarse en una gráfica completa dirigida con n vértices.

álgebra en miércoles

Encuentra todas las funciones $f$ de los reales a los reales tales que para todos los reales $x$, $y$, $z$, $t$ se tiene que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \]

lunes, 12 de junio de 2017

Problema del sábado 10 de junio.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumplen que para todos
$x$ y $y$ numeros reales
$$f(xf(y))+y+f(x)=f(x+f(y))+yf(x).$$

viernes, 9 de junio de 2017

Problema Teoría de Número Viernes 9 de junio


Sean $f,g : \mathbb{Z} ^{+} \rightarrow  \mathbb{Z} ^{+} $ 
transformaciones con las siguientes propiedades:\\
a) $g$ es suprayectiva.\\
b) $ 2 f(n)^{2} = n^{2} + g(n)^{2} $ para todos 
los enteros positivos $n$.\\
c) $ \mid f(n) - n \mid \leq 2004 \sqrt{n} $, para toda $n$

Demuestra que $f$ tiene una cantidad infinita de puntos fijos.

Problema Teoría de Números del Viernes 2 de junio


 Si $n > 0$ es un entero tal que $s(n) =2$, 
¿Cúal es el mayor valor de $s(n^{10} )$? 
Recuerda que $s(n)$ denota a la suma de los dígitos de $n$.

jueves, 8 de junio de 2017

Jueves de Geometría 2.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. El punto $X_A$ está sobre la tangente por $H$ al circuncírculo del triángulo $BHC$ de forma que $AH=AX_A$. De manera análoga se definen $X_B$ y $X_C$. Muestra que el triángulo $X_AX_BX_C$ es semejante al triángulo ortico del $ABC$. 

miércoles, 7 de junio de 2017

Martes de combi (en miércoles)

Hola chicos

Una disculpa por no subir problema ayer. Va el problema de combi de la semana:

Sea $n\geq 2$, tal que existen números naturales distintos $a_1,a_2, ... a_n, b_1, b_2, ...b_n$ con la propiedad que las $C^{n}_{2}$ (n en dos)  sumas $a_i+a_j$ son iguales a las $C^{n}_{2}$ sumas $b_i+b_j$ (en algún orden). Prueba que $n$ es una potencia de 2.

Sugerencia: sea $f(x) = \sum x^a_i$, $g(x) = \sum x^b_i$. Encuentra una ecuación algebraica que relacione f y g. Si n no es potencia de 2, esta ecuación algebraica no tiene solución. Usa inducción y derivadas para demostrarlo.

Problema del sabado 3 de junio

Dado un numero natural $k$, encuentra todas las funciones
f : \mathbb{N} \to  \mathbb{N}$
tales que para cada $m$, $n$ enteros positivos, se tiene que
f(m)+f(n) divide  a (m+n)^k.

Problema del miércoles

Los números reales $p$, $q$, $r$ y $s$ cumplen que $p+q+r+s=9$ y $p^2+q^2+r^2+s^2=21$. Demuestra que existe una permutación $(a,b,c,d)$ de $(p,q,r,s)$ tal que $ab-cd\geq 2$.

jueves, 1 de junio de 2017

Jueves de Geometría

Les dejo este problema que me gusta mucho.

(APMO 2006 P4.) Sea $\Omega$ una circunferencia con cuerda $AB$. La circunfenrencia $\omega$ es tangente a la cuerda $AB$ en su punto medio y a $\Omega$. Supongamos que la tangente desde $B$ a $\omega$ corta a $\Omega$ en $C$. Muestra que la circunferencia que es tangente a $AC$ en su punto medio y que también es tangente a $BC$ es una circunferencia tangente a $\Omega$.

miércoles, 31 de mayo de 2017

Problema del miércoles

Demuestra que el conjunto de enteros positivos que no se pueden representar como la suma de cuadrados perfectos distintos es finito.

martes, 30 de mayo de 2017

Martes de Combi - Matrices

Todas las entradas de una matriz de $n \times n$ son todas números enteros positivos. Se permite realizar las siguientes operaciones: multiplicar por 2 todos los números de una fila, o bien, restarle 1 a todos los números de una columna. Prueba que mediante estas operaciones podemos llegar a que todas las entradas de la matriz sean 0.