lunes, 11 de junio de 2012

Problema del dia 11 de junio (Jorge)

En los problemas de IMO es común que se utilicen ideas de cálculo (aunque no se usen las herramientas). A mí me ha servido para la olimpiada estudiar cálculo de licenciatura, sobre todo la parte de sucesiones, así que se los recomiendo a los que todavía no lo hacen.

1.- Considera dos sucesiones no crecientes $(a_k)$ y $(b_k)$, con $k\geq 1$ y $a_k$ y $b_k$ reales positivos para todo $k$. Ahora definimos las secuencias:
$c_k=\min (a_k,b_k)$
$A_k= a_1+a_2+...+a_k$
$B_k= b_1+b_2+...+b_k$
$C_k= c_1+c_2+...+c_k$
Para todo $k$.
a)¿Es posible que $A_k$ y $B_k$ no estén acotadas mientras que $C_k$ sí lo esté?
b) ¿La respuesta en a) cambia si definimos a $b_k$ como $b_k=\frac{1}{k}$ para todo $k$?

2.-La secuencia $c_0, c_1, c_2...$ se define como sigue, $c_0=1$, $c_1=1$ y $c_{n+2}=c_n+c_{n+1}$ para $n\geq 2$. Considera el conjunto $S$ de parejas oredenadas $(x,y)$ tal que existe un conjunto finito $J$ de enteros positivos tal que $x=\sum_{j\in J}{c_j}$,  $y=\sum_{j\in J}{c_{j-1}}$. Demuestra que existen reales $m,\alpha ,\beta , M$ con la siguiente propiedad: $(x,y)\in S$ si y solo si se cumple la desigualdad $m \leq \alpha x+\beta y \leq M$.

1 comentario:

Diego Alonso Roque Montoya dijo...

La idea de la primera es ir alternando "bloques" que sumen uno en $A$ y $B$ mientras en el "bloque" correspondiente de la otra este la geometrica con razon un medio.
La $b$ tienes que hay un punto donde siempre es mayor $a_k$ y entonces $c_k$ es divergente. O si no, hay infinitos $m$ tal que $a_m\geq \frac{1}{a_m}$. Te tomas de esos $m$ suficientemente alejados, sumas $C$ en bloques entre tales $m$'s y te quedara mayor a cierta variable divergente. Por lo tanto en ambos casos diverge.

Para el otro, primero notas que todo $x$ se puede formar, y cualquier forma que se haga $x$ se puede 'transformar' con $c_{n+2}=c_{n+1}+c_n$ a una que no haya dos numeros consecutivos en $J$. En esas dos $x$'s, hacemos las mismas transformaciones en las $y$'s correspondientes y resultan iguales. Cada $x$ se puede formar y por lo tanto cada $x$ tiene al menos un $y$ tal que $(x,y)$ esta en $S$. Si $(x,y)$ y $(x,y')$ estan ambos en $S$ entonces $x$ se puede transformar en una forma donde esten todos separados y por lo tanto los dos $y$'s se transforman a esa forma y tenemos que $(x,y')=(x,y)$.

Demostraré que $M=1,m=\phi',\alpha=-1,\beta=\phi$. Por $\lambda$, substituyendo en $x$ y $y$, queremos demostrar que (trasladando indices para que sea la formula de fibonacci)
$$\phi '\leq \sum_{j\in J} \frac{(\phi^{j+1}-\phi\cdot\phi^j')-(\phi^{j+1}-\phi'^j)}{\sqrt{5}}\leq 1$$
Si y solo si
$$\phi'\leq \sum_{j\in J} \frac{(\phi'-\phi)\phi'^j}{\sqrt}\leq 1$$
Como $(\phi')\phi=-1$ y $\phi'-\phi=-\sqrt{5}$ tenemos que si y solo si
$$-1\leq \sum_{j\in J} (\frac{-1}{\phi})=S\leq \frac{1}{\phi}$$.
Tenemos que $S$ es menor a su correspondiente cuando $J_p$, donde $J_p$ son solo los pares de $J$ (porque no hay sumandos negativos y hay todos los positivos) y eso es estrictamente menor a cuándo son todos los pares. Similarmente $S$ es estrictamente mayor al $S$ correspondiente al conjunto de todos los impares. Entonces
$$S\leq \sum_{i=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi^2})^i=\frac{1}{\phi^2}\frac{\phi^2}{\phi^2-1}=\frac{1}{\phi}$$
$$S\geq (-1\phi)\sum_{i=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi^2})^i=(-1\phi)(\frac{1}{\phi}=-1$$.
Entonces si $(x,y)\in S$ se cumple la desigualdad.

Ahora, si $(x,y)$ enteros positivos cumplen la desigualdad entonces por lo que dije al principio, existe un $z$ unico tal que $(x,z)$ esta en $S$ y por lo tanto cumplen la desigualdad. Pero notemos que $M-m=\phi$ y $|(y\cdot\phi -x)-(z\cdot\phi -x)|=|y-z|\phi$. Si son diferentes entonces $(y\cdot\phi -x)$ y $(z\cdot\phi -x)$ son $1$ y $-\phi'$ respectivamente. Pero el que de $1$ tendrá que como $1$ es entero y $x$ también, entonces $z\phi$ o $y\phi$ también así que $y=0$ O $z=0$. Pero $y$ es positivo por definicion y $z$ también porqué todos sus sumandos lo son. Asi que $y=z$ y por lo tanto $(x,y)=(x,z)\in S$.

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