miércoles, 22 de agosto de 2012

Álgebra 3

Ayer se me pasó poner el post para que comenten las soluciones. Si yo no lo pongo y alguien ya quiere publicar acerca de un problema, pongan ustedes mismos el post.

A3) Sea $P(x) \in \mathbb{Z} [x]$, de grado $n>0$ y con $n$ raíces reales en el intervalo $(0,1)$. Demuestra que le valor absoluto del coeficiente principal de $P(x)$ es mayor o igual que $2^n$.

4 comentarios:

Adán dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Adán dijo...

Mmm, bueno, digo más o menos que hice.

Sea $C$ el coeficiente principal de $P$. Usé que si $x\in \left(0, 1\right)$ entonces

$x\left(1-x\right)\leq \frac{1}{4}$

y usando esto, se ve que

$\left|P\left(0\right)P\left(1\right)\right|\leq \frac{C^{2}}{4^{n}}$

pero como $P$ tiene coeficientes enteros, y $0$ y $1$ no son raíces de $P$, entonces

$\left|P\left(0\right)P\left(1\right)\right|\geq 1$

de donde es claro que $C^{2}\geq 4^{n}$ y por lo tanto

$\left|C\right|\geq 2^{n}$

como queríamos.

JulioC dijo...

Mi solución supongo que es la misma que la de Adán, escribir el polinomio de acuerdo a sus raíces, ver los valores de $P(1)$ y $P(0)$ pues son los que pueden ocupar más la condición de que las raíces quedan entre $0$ y $1$ y por último ocupar
$x\left(1-x\right)\leq \frac{1}{4}$ cuidando los valores absolutos.

Juan dijo...

A mí me salió igual, usando que x(1-x) es menor o igual a 1/4

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