miércoles, 29 de agosto de 2012
G-4
Sean $M$ y $N$ puntos arbitrarios en los lados $AC$ y $BC$ del triángulo $ABC$, respectivamente, y $P$ un punto arbitrario en el segmento $MN$. Demuestra que al menos uno de los triángulos $AMP$ y $BNP$ tiene área menor o igual que $\frac{1}{8}$ del área del triángulo $ABC$.
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3 comentarios:
Primero se nos ocurre ver las relaciones entre $(AMP)$ y $(BNP)$ con $(ABC)$, así que las sacamos en función de los segmentos pues así podremos manipular el problema directamente desde la posición de $M$ y $N$.
Para ver que alguno de $\frac{(AMP)}{(ABC)}, \frac{(BNP)}{(ABC)}$ es menor o igual a $\frac{1}{8}$ también nos interesa obtener una cota superior para alguna de sus medias (aritmética, geometrica, etc.).
Tenemos que $\frac{(AMP)}{(AMN)}=\frac{MP}{MN}$, extendiendo este procedimiento para más razones de área obtenemos que $\frac{(AMP)}{(ABC)}=\frac{(AMP)(AMN)(ACN)}{(AMN)(ACN)(ABC)}=\frac{MP\cdot AM\cdot NC}{MN\cdot CA\cdot BC}=abc$ (con $\frac{MP}{MN}=a,\frac{AM}{CA}=b,\frac{NC}{BC}=c$), haciendo lo mismo para $(BNP)$ obtenemos que $\frac{(BNP)}{(ABC)}=(1-a)(1-b)(1-c)$,como $a,b,c<1$ (los casos cuando alguno es 1 son triviales). Entonces podemos trabajar de una vez con la media geométrica, y obtenemos que $abc(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{64}$ (es fácil obtener que $a(1-a)\leq \frac{1}{4}$, luego alguno de $abc$,$(1-a)(1-b)(1-c)$ es menor o igual a $\frac{1}{8}$, como queríamos.
Ya me salió con talacha, dibujando las alturas y reduciéndolo a un problema de álgebra que sale expandiendo.
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