jueves, 3 de septiembre de 2015

Problema de Algebra

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios mónicos tales que $P(P(x))=Q(Q(x))$, para todo número real
$x$. Muestra que $P(x)=Q(x)$.

2 comentarios:

Pablo Meré Hidalgo dijo...

Mi solución es básicamente desarrollar todo e ir comparando coeficiente por coeficiente

Ariel dijo...

Claramente $P$ y $Q$ deben tener el mismo grado. Sea $P(x) = x^n + \displaystyle\sum_{i = 0}^{n - 1}a_ix^i$ y sea $Q(x) = x^n + \displaystyle\sum_{i = 0}^{n - 1}b_ix^i$. $P(P)$ y $Q(Q)$ deben tener los mismos coeficientes. Tenemos:
$$P(P(x)) = P(x)^n + a_{n - 1}P(x)^{n - 1} + \dots + a_1P(x) + a_0$$
$$Q(Q(x)) = Q(x)^n + b_{n - 1}Q(x)^{n - 1} + \dots + b_1P(x) + b_0$$
Nos fijamos primero en los coeficientes de $x^{n^2 - 1}, x^{n^2 - 2}, \dots x^{n(n - 1) + 1}$. En la expansión de $P(P)$ y $Q(Q)$ estos términos solamente aparecen en las expansiones de $P(x)^n$ y $Q(x)^n$, pues todos los demás tienen grado a lo más $n(n - 1)$, entonces podemos ignorar el resto de los términos cuando consideremos estos coeficientes.

Mostramos por inducción fuerte sobre $n - i$ que $a_{n - i} = b_{n - i}$ para $i = 0, 1, \dots n - 1$. El caso $i = 0$ es cierto pues los polinomios son mónicos. Suponiendo que para $0, 1, \dots k - 1$ es cierto, lo mostramos para $k \leq n - 1$. Nos fijamos en las expresiones:
$$P(x)^n = (x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + a_1x + a_0)^n$$
$$Q(x)^n = (x^n + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_1x + b_0)^n$$
El coeficiente de $n^2 - k$ en $P(x)^n$ es
$$\sum a_{x_1}a_{x_2} \dots a_{x_n}$$
Donde los $x_i$ son enteros no negativos tales que $x_1 + x_2 + \dots + x_n = n^2 - k$, y $a_n = 1$. Análogamente el coeficiente en $Q(x)^n$ es
$$\sum b_{x_1}b_{x_2} \dots b_{x_n}$$
Con la misma restricción en los $x_i$.

Por la hipótesis inductiva, $a_{x_1}a_{x_2} \dots a_{x_n} = b_{x_1}b_{x_2} \dots b_{x_n}$ si $x_i \geq n - k + 1$ para toda $i$. Ya que ambos coeficientes son iguales esto implica que
$$\sum_{\text{Hay} x_i \leq n - k}a_{x_1}a_{x_2} \dots a_{x_n} = \sum_{\text{Hay} x_i \leq n - k}b_{x_1}b_{x_2} \dots b_{x_n}$$
Pero la única forma de que esto pase y que $x_1 + x_2 + \dots + x_n = n^2 - k$ es que haya un $x_i$ igual a $n - k$ y el resto iguales a $n$. Hay $n$ formas de que esto suceda, lo cuál implica que:
$$n \cdot a_k = n \cdot b_k$$
Y $a_k = b_k$ como queríamos. Falta solamente probar que $a_0 = b_0$, lo cuál es fácil considerando el coeficiente de $x^{n(n - 1)}$.

Publicar un comentario