viernes, 31 de diciembre de 2010

Re:Problema de Navidad

Bueno, un poco tardado pongo la solucion pero ahi va.

Sea A=(0,0),B=(1,0), P=(p,0) y R=(1,r). Con estos puntos ya estan definidos todos los demas. La recta RP tiene pendiente (r-0)/(1-p)=-r/(p-1) y pasa por R=(1,r). Luego de aritmetica trivial, llegamos a que la recta es y+rx/(p-1)=rp/(p-1) (*RP*).

Como Q=(0,q) y esta en RP entonces cumple esa ecuacion (*RP*). porlotanto q=rp/(p-1).
Entonces Q=(0,rp/(p-1)).

La recta AR tiene la ecuacion -rx+y=0 (*AR*), mientras que la recta BQ tiene la ecuacion qx+y=q (*BQ*).

La recta AL como es perpendicular a BQ entonces tiene la ecuacion -x+qy=cte. Pero como A esta en la recta entonces -0+0q=cte, sea la recta AL entonces tiene la ecuacion -x+qy=0 (*AL*)

La recta BK es perpendicular a AR porlotanto tiene la ecuacion x+ry=cte_2. B esta en esa ecuacion porlotanto 1+0r=cte_2, porlotanto la ecuacion de BK es x+ry=1, osea x+ry=1 (*BK*).

Tenemos que K es la interseccion de BK y AR entonces K cumple (*BK*) y (*AR*).
Saltandonos el algebra trivial, tenemos que K=(1/(r^2+1),r/(r^2+1)).
Por metodos similares sacamos que L=(q^2/(q^2+1),q/(q^2+1))

Tenemos que S=(0,s) y cumple (*BK*) y T=(1,t) y cumple (*AL*) asi que resolviendo tenemos que S=(0,1/r), T=(1,1/q).

Para demostrar que P, K, L son colineales tenemos que demostrar que las pendientes de PK y PL son las mismas porque asi PK y PL serian paralelas y como comparten P serian la misma. Similarmente para demostrar que P, S, T son colineales tenemos que demostrar que las pendientes de PS y PT son las mismas.

La pendiente de PK es (p-1/(r^2+1))/(0-r/(r^2+1))=-(pr^2+p-1)/r
La pendiente de PL es (p-q^2/(q^2+1))/(0-q/(q^2+1))=-(pq^2+p-q^2)/(q). Ahora sustituimos q=rp/(p-1) y tenemos que la pendiente es -(p(rp/(p-1))^2+p-(rp/(p-1))^2)/(rp/(p-1)) y expandiendo y eliminando nos da que es igual a -(pr^2+p-1)/r. Porlotanto PK y PL son paralelas y como comparten P deben ser la misma linea.

La pendiente de PS es (p-0)/(0-1/r)=-rp
La pendiente de PQ (p-1)/(0-1/q)=(-p+1)/q=(-p+1)/((p-1)/(rp))=-rp porlotanto PS y PQ son paralelas y entonces tienen que ser la misma linea.

1 comentario:

Diego627 dijo...

:P facil con analitica, nadamas necesitas el tiempo suficiente.

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