martes, 6 de septiembre de 2011

problema del dia 6 de septiembre (Jorge)

Aquí pongo problemas de un estilo a mi parecer típico de la ibero y poco standard en México.
Procuré ponerlos en orden de dificultad.
1.- Encuentra el mayor entero $n$ tal que existen puntos $P_1, P_2,...P_n$ en el plano y reales $r_1, r_2,... r_n$ tal que la distancia entre $P_i$ y $P_j$ es $r_i+r_j$ para todo $i,j$.
2.- Sea $n\geq 2$ un entero y $D_n$ el conjunto de los puntos latiz $(x,y)$ en el plano con $-n\leq x\leq n$, $-n\leq y\ n$.
a) Cada uno de los puntos de $D_n$ se pinta de uno de tres colores. Demuestra que sin importar la coloración existen dos puntos de $D_n$ con el mismo color tal que la recta que los contiene no pasa por ningún otro punto en $D_n$.
b)Encuentra una manera de pintar $D_n$ utilizando cuatro colores tal que toda recta que pase por dos puntos del mismo color pase por al menos tres puntos en $D_n$.
3.- Encuentra todas las $n$ mayores a $3$ tales que existen puntos $P_1,P_2,...P_n$ en el plano (no tres de ellos colineales) y reales $r_1,r_2,...r_n$ tales que el área del triángulo $P_iP_jP_k$ es $r_i+r_j+r_k$.
4.- Sea $s<\frac{1}{2}$ un real positivo. Demuestra que es imposible cubrir un cuadrado unitario con cinco cuadrados iguales de lado $s$.

2 comentarios:

Diego627 dijo...

Que no 2.a y 2.b se contradicen?

jorge garza vargas dijo...

jaja si, solo era para ver si los leían... no te creas, se me olvido poner "con cuatro colores".
Es decir: Encuentra una manera de pintar los vértices de $D_n$ usando cuatro colores tal que toda recta que pase por dos puntos del mismo color pase por un tercero.

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