lunes, 8 de julio de 2013

Problema del Día (Adán)

Sea $s>1$ un entero. Muestra que existen infinitos $n\in \mathbb{N}$ tales que

\[n\mid 1^{n}+2^{n}+\cdots+s^{n}.\]


Sea $n$ un entero positivo. Un conjunto $S$ de $n$ puntos en el plano, tales que no contiene tres puntos alineados, es tal que para cada punto $P$ en $S$, al menos otros $k$ puntos en $S$ tienen la misma distancia a $P$. Muestra que

\[k<\frac{1}{2}+\sqrt{2n}.\]

8 comentarios:

Juan dijo...

Es conocido que $m^j | a^{m^j} + b^{m^j}$ si $m$ es non y $a+b=m$, para todo $j$. Es fácil verlo por Lifting, pero hay que tener cuidado si $(m,a)$ no es $1$.

Así, si $s$ es par nos agarramos $n=(s+1)^j$ y si $s$ es non nos agarramos $n=s^j$ y esos cumplen.

Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...

2. Jejeje está chido. Es fácil ver que basta con demostrar que no se puede $n=\frac{x(x+1)}{2}$ y $k=x+1$, para algún $x \ge 1$. Sólo hay que ver cuando cambia $\lfloor \frac{1}{2}+\sqrt{2n} \rfloor$.

Ahora, supongamos que tenemos un conjunto $S$ de $n=1+...+x$ puntos tal que cada uno es el circuncentro de un $k$-ágono formado por otros puntos de $S$, con $k=x+1$. Ahora, contaré el número de tercias $(C,A,B)$ con $A,B \in S$ y $C$ un círculo con centro en algún punto de $S$ que pasa por $B$ y $A$. El truco es ver que para cada par de puntos $(A,B)$ hay a lo más $2$ círculos que pasan por ellos con centro en algún punto de $S$, pues de lo contrario los $3$ centros se hallarían en la mediatriz de $AB$ y tendríamos $3$ puntos colineales. Así, hay a lo más $2{{n}\choose{2}}$ tales tercias.

Por otro lado, cada punto de $S$ es centro de un $k$-ágono con vértices en $S$, por lo que cada punto aporta al menos ${{k}\choose{2}}$ tercias. Entonces hay al menos $n{{k}\choose{2}}$ tercias. Por tanto:

$2{{n}\choose{2}} \ge n{{k}\choose{2}}$

pero recordando los valores de $n$ y $k$ vemos fácilmente que ésto implica ${{k}\choose{2}} \le {{k}\choose{2}} -1$.

Contradicción. Así, acabamos. $\blacksquare$

Juan dijo...
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Juan dijo...

Sé que no sale bien el LaTex pero ya que.

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