Encuentra todas las secuencias finitas $(x_0, x_1,..., x_n)$ tales que para toda $j$, $0\leq j\leq n$, $x_j$ es igual a la cantidad de veces que el numero $j$ aparece en la secuencia.
Dedicado a Oscar.
Sean $a>b>c>d$ enteros positivos tales que $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$. Prueba que $ab+cd$ no es un numero primo.
Dedicado a Juan.
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1 comentario:
Supongamos que es primo $ab+cd=P$. Sea $X=ac+bd$.
Vemos que $b+d+a-c | X$ entonces
$b+d+a-c | a(b+d+a-c)+X = (a+b)(a+d)$.
También,
$b+d+a-c | X = (a+d)(b+c)-P$.
Es fácil ver que $P \textgreater a+d$, y de aquí vemos que $a+d$ y $b+d+a-c$ son coprimos. Por tanto
$b+d+a-c | a+b$
Análogamente
$b+d+c-a | c+d$
Entonces $X | (a+b)(c+d) = X + ad+bc$
Por tanto, $X | ad+bc$ y entonces
$0 \ge X-ad-bc = ac+bd-ad-bc=(a-b)(c-d) \textgreater 0$.
Entonces he acabado.
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