martes, 24 de junio de 2014

Problemas 24 junio

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $O$ y $H$ su circuncentro y ortocentro. Sea $P_A$ y $Q_A$ puntos sobre $OA$ y $BC$ (respectivamente) tales que $OP_AHQ_A$ es un paralelogramo. Defino $P_B, P_C, Q_B, Q_C$ análogamente. Demostrar que

$\displaystyle\frac{OQ_A}{OP_A}+\displaystyle\frac{OQ_B}{OP_B}+\displaystyle\frac{OQ_C}{OP_C} \ge 3$

Dedicado a Luis

2. En $ABC$ sea $P$ un punto interior y sea $A_1,B_1,C_1$ los puntos de intersección de $AP$, $BP$, $CP$ con el circuncírculo de $ABC$, respectivamente. Sea $A_2$ tal que $BA_2CA_1$ es paralelogramo y defino $B_2$ y $C_2$ análogamente. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$. Mostrar que $A_2B_2C_2H$ es un cuadrilátero cíclico.

Dedicado a Xavi

3 comentarios:

Diego Alonso Roque Montoya dijo...

El de Xavi, supon que O es el origen entonces $A_2=B+C-A_1=H-2(A_1+A)$, y similarmente con los otros. Entonces si $A_2B_2C_2H$ es ciclico, también los puntos medios $M_A,M_B,M_C$ de $AA_1$,$BB_1$,$CC_1$ y $O$. Pero como $M_A$ es punto medio, entonces $OM_A$ es mediatriz, entonces $PM_A$ y $OM_A$ son perpendiculares, entonces $M_A$ esta en el diametro $OP$. Similarmente con los otros,entonces sí son ciclicos y QED.

Juan dijo...

Está padre :) (Es equivalente a una solución sintética, que era la que yo tenía :P )

Juan dijo...

Sigo teniendo acceso

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