domingo, 31 de mayo de 2015

Problemas 31/05 (Leo)

Va la lista de 5 problemas del TST 2 Holanda, 2013. Los transcribí un poco rápido, así que avísenme si ven algo raro con las redacciones.

1. Muestra que

$\sum_{n=0}^{2013} \frac{4026!}{(n!(2013-n)!)^2}$

es el cuadrado de un entero.

2. Sea $P$ la intersección de las diagonales de un cuadriálero convexo $ABCD$. Sean $X$, $Y$, $Z$ puntos en el interior de $AB$, $BC$, $CD$ respectivamente tales que

$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZD}=2$.

Supongamos además que $XY$ es tangente al circuncírculo del triángulo $CYZ$ y que $YZ$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BXY$. Muestra que $\angle APD = \angle XYZ$.

3. Fija una sucesión de enteros $a_1$, $a_2$, $\ldots$ que satisface la siguiente condición: para todos los números primos $p$ y todos los enteros positivos $k$ se tiene que:

$a_{pk+1}=pa_k-3a_p+13.$

Determina todos los posibles valores de $a_{2013}$.

4. Determina todos los enteros positivos $n\geq2$ que satisfacen que $i+j$ tiene la misma paridad que $\binom{n}{i}+\binom{n}{j}$ para todas las $i$ y $j$ tales que $0\leq i \leq j \leq n$.

5. Sea $ABCDEF$ un hexágono cíclico con $AB\perp BD$  y $BC=EF$. Sea $P$ la intersección de $BC$ y $AD$ y $Q$ la intersección de $EF$ y $AD$. Supongamos que $P$ y $Q$ están en el mismo lado que $D$ y que $A$ está en el lado opuesto. Sea $S$ el punto medio de $AD$. Sean $K$ y $L$ los incentros de $BPS$ y $EQS$ respectivamente. Muestra que $\angle KDL = 90^\circ$.

8 comentarios:

Antonio Lopez Guzman dijo...

para el dos, con informacion de las tangentes vemos que los triangulos XBY y YCZ son semejantes, sea AB=3a,BC=3b,CD=3c, por la semejnaza tenemos XB/YC=BY/CZ, a/b=2b/2c=b/c, entonces multiplicando por tres la igualdad podemos ver que AB/BC=BC/CD, y como <ABC=BCD los triangulos ABC y BCD son semejantes, de ahi veo que <BAC=<CBD=<CBP, entonces ahora tenemos que ABC es semejante a BPC, entonces <BPC=<ABC=XYZ

Antonio Lopez Guzman dijo...

Para el 5, llamemos <SEF=<SBC=2a, (S es el centro), entonces <SEL=90-a, y como SE=SD y SL es la bisectriz entonces tambien es medistriz, por lo que <LDS tambien es 90-a, luego, veo que los triangulos SDK y SBK son congruentes porque <DSK=<BSK y SD=SB, entonces <SDK=<SBK=a
Y ya de ahi tenemos <KDL=(90-a)+a=90

Antonio Lopez Guzman dijo...

Vamos a ver que la suma es $(\binom{4026}{2013})^2$, para ello cada termino lo reacomodamos como
$(\binom{2013}{n})^2*\binom{4026}{2013}$, entonced a todos les podemos factorizar el 4026 en 2013, y la otra suma quiero ver que sea 4026 en 2013, para eso reacomodamos cada termino de la suma como $\binom{2013}{k}*\binom{2013}{2013-k}$ para k desde 0 hasta 2013, y ya nomas hacemos una biyeccion que esa suma es como escoger 2013 objetos de un conjunto de 4026 elementos, pues podemos dividir los 4026 objetos en dos grupo de 2013 elementos, y esa suma me esta contanto cuando de un grupo agarro cero y de otro 2013, lulego cuando de un grupo agarro 1 y de otro 2012 y asi sucesivamente,entonces mi suma que nos dan si es $(\binom{4026}{2013})^2$

nivek dijo...

En el 1 ver que es $\binom{4026}{2013}^2$ viendo ña suma de las cosas $\binom{2013}{n} \binom{2013}{n-2013}$
En el 2 ver ke si $K$ esta en $BC$ con $\frac{CK}{BK}=2$ entonces los angulos $XKZ=XYZ$ y $XKZ=APD$.
En el 3 ver que pasa con pq+1 y ver que para los primos es un valor específico p+3 y luego generalizar para todos los enteros.
En el 4 ver que no es impar pues si no con k y n-k se ve contradiccion y luego ver que 2 divide exactamente a n 4 a n-2 ... y de ahí concluir el número (para esto vemos que $\binom{n}{1}=n$ que es par.) entonces los pares deben de dar a impar. y ver que es $2^k-2$

nivek dijo...

para el 5 ver que S es el centro que los angulos $QES$ y $PBS$ suman 180 (por BC=EF) y luego ver que las bisectrices por S son simetrías de d a B y de d a E entonces KDL es la mitad de QES+PBS=90

Ariel dijo...

Para el 2 sacas que $XBY$ y $YCD$ son semejantes. Luego con las condiciones de las razones sacas que $ABC$ y $BCD$ son semejantes y acabas

Ariel dijo...

Para el 5, $SK$ y $SL$ son mediatrices de los isoceles $SBD$ y $SED$. Tienes $\angle SDL = \angle SEL$ y $\angle SDK = \angle SBK$, entonces $\angle KDL$ es la mitad de $\angle SBP + \angle SEQ = 180$ y ganas.

Juan dijo...

Hay que especificar que ABCDEF es convexo, de lo contrario es falso.

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