sábado, 30 de mayo de 2015

Problemas del 30 de mayo

1.-Encuentra todas las parejas de funciones $f,g$ de los reales a los reales tales que 
f(x+g(y))= xf(y) - yf(x) +g(x)   para todos los reales  $x,y$



2.-Sea $O$ el circuncentro y  $H$ el ortocentro de un triangulo acutangulo $ABC$. Prueba que existen puntos $D$, $E$,y $F$ en los lados $BC$, $CA$, y$AB$ respectivamentente, tales que
\[ OD + DH = OE + EH = OF + FH\]y las lineas $AD$, $BE$, y $CF$ sean concurrentes.

7 comentarios:

Ariel dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Ariel dijo...

Sean $P, Q, R$ las intersecciones de $AH, BH, CH$ con el circuncirculo de ABC. Tomamos $D$, $E$ y $F$ como las intersecciones de $OP, OQ, OR$ con $BC, CA, AB$ respectivamente. Como $H$ y $P$ son simétricos respecto a $BC$, tienes $DH = HP$, entonces $DH + DO = DO + DP = OP = R$, y si se cumple lo de las sumas. Nos falta ver que concurren. Llamamos $\alpha. \beta, \gamma$ a los angulos del triangulo, por angulitos y generalizado de la bisectriz en $BOC$ tienes $\frac{BD}{DC} = \frac{\sin 180 - 2\beta}{\sin 180 - 2\gamma}$. Sacas las analogas y acabas con Ceva

Juan dijo...

2. Continuidad.

Juan dijo...

1. estan bien feas las que cumplen

Pablo M H dijo...

¡Orale! esta interesante la condición de que D, E y F estén sobre una elipse con focos O y H

Juan dijo...

Pablo y esa cosa es tangente a los 3 lados :)

AH! y se cumple para cualesquiera isogonales, no solo O y h

Ariel dijo...

Y las cevianas que unen los vértices con los puntos de tangencia concurren por Brianchon :p

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