viernes, 27 de mayo de 2016

Problemas del Viernes

1. Determina todas las funciones $f \colon \mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+}$ que satisfacen las condiciones

$$f \left(\frac{x}{x + 1}\right) = \frac{f(x)}{x + 1} \quad \text{y} \quad f \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^3}$$

Para todo $x \in \mathbb{Q}^{+}$.

2. Sean $n, k$ enteros positivos con $n \geq 2$ y $k \geq \frac{5n}{2} - 1$, y sea $S = \{(x, y) \vert x, y \in \mathbb{Z}, 1 \leq x, y \leq n\}$ el conjunto de todos los puntos latiz con coordenadas positivas y menores o iguales que $n$. Muestra que entre cualesquiera $k$ puntos de $S$, existen cuatro que son concíclicos.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $P$ un punto en su interior. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ los pies de las perpendiculares desde $P$ hacia $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. Determina el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que las rectas $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$ concurren, y se satisface la condición

$$\angle PAB + \angle PBC + \angle PCA = 90^{\circ}$$

4 comentarios:

Víctor Hugo Almendra dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Víctor Hugo Almendra dijo...
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Víctor Hugo Almendra dijo...

Como el dominio de $f$ son los racionales positivos, podemos ver a $x$ como $\dfrac{p}{q}$ con $p, q$ enteros positivos, entonces, al sustituir en las condiciones deseadas, tenemos que $f\left( \dfrac{p}{p+q} \right) =\dfrac{qf \left( \dfrac{p}{q} \right)}{p+q}$ (Condición $1$), y que $f \left( \dfrac{q}{p}\right) = \dfrac{q^{3}f \left( \dfrac{p}{q} \right)}{p^{3}}$ (Condición $2$). Ahora, veamos que si $p\textgreater q$, podemos sustituir $p=q+r$ con $r$ entero positivo, ahora, notemos que $\dfrac{q^{3}f \left( \dfrac{q+r}{q} \right)}{(q+r)^{3}} = f \left(\dfrac{q}{q+r}\right)=\dfrac{rf\left(\dfrac{q}{r}\right)}{q+r}$, de donde podemos ver que $f\left(\dfrac{p}{q}\right)$ se puede conocer si conocemos $f\left(\dfrac{q}{r}\right)$, además, notemos que $p+q\textgreater q+r$. Ahora, si $p\textless q$, sea $q=p+s$, entonces tenemos que $f \left(\dfrac{p}{q}\right)=f \left(\dfrac{p}{p+s}\right)=\dfrac{sf\left(\dfrac{p}{s}\right)}{p+s}$, donde podemos ver que podemos obtener $f\left(\dfrac{p}{q}\right)$ a partir de $f\left(\dfrac{p}{s}\right)$, y además, $p+q\textgreater p+s$, con esto, es fácil ver que podemos ir reduciendo el valor de la suma de numerador+denominador, siempre que sean distintos, pero como son enteros positivos, su suma no puede disminuir de manera infinita, entonces eventualmente se llega a que son iguales, lo que nos dice que si conocemos $f(1)$, toda la función queda definida. Con esto, es fácil ver que $f\left(\dfrac{p}{q}\right)=\dfrac{p^{2}f(1)}{q}$, y terminamos.

Ariel dijo...

Hints en ROT13 (ponganlos en http://www.rot13.com/ y se los traduce, para que no los vean por accidente):

2. Phragra gencrpvbf vfófpryrf, dhr ln fnora dhr fba pípyvpbf

3. Gevtb. Ab rf ha yhtne trbzégevpb "abezny".

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