jueves, 1 de junio de 2017

Jueves de Geometría

Les dejo este problema que me gusta mucho.

(APMO 2006 P4.) Sea $\Omega$ una circunferencia con cuerda $AB$. La circunfenrencia $\omega$ es tangente a la cuerda $AB$ en su punto medio y a $\Omega$. Supongamos que la tangente desde $B$ a $\omega$ corta a $\Omega$ en $C$. Muestra que la circunferencia que es tangente a $AC$ en su punto medio y que también es tangente a $BC$ es una circunferencia tangente a $\Omega$.

8 comentarios:

Ariel dijo...

Sea $I$ el incentro de $ABC$, $M$ el punto medio de $AB$, $T$ el punto de tangencia de $\omega$ con $BC$, $N$ y $Q$ las intersecciones de la perpendicular a $CI$ por $I$ con $AC$ y $BC$ resepctivamente, y $K, L$ los puntos medios de $BM$ y $CN$.

Ya que $\omega$ es el incírculo mixtilinear opuesto a $B$ en $ABC$, es un hecho conocido que $I$ es el punto medio de $MP$. Por este mismo hecho conocido sabemos que $N, Q$ son los puntos de tangencia del incírculo mixtilinear opuesto a $C$, y por lo tanto basta probar que $N$ es el punto medio de $AC$.

Con angulitos vemos que $K, I, L$ son colineales y que $KL$ es paralela a $BC$. Luego, ya que

$$\frac{MK}{NL} = \frac{BK}{CL}$$

Concluimos que $MN$ también es paralela a $BC$, y entonces $N$ es el punto medio de $AC$ pues $M$ es el de $AB$

Isaac Jimenez dijo...
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Isaac Jimenez dijo...
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Isaac Jimenez dijo...
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Isaac Jimenez dijo...

Sea $X$ el punto de tangencia de $BC$ y $\omega$.

Por el teorema de Caesey en $\omega$, punto $C$, punto $B$ y punto $A$, obtenemos que $CA\times BX=AB\times CX+\frac { AB }{ 2 } \times BC$. Como $BX=AB/2$, nos queda que $AB+AC=3BC$.

Queremos ver que la circunferencia tangente al punto medio de $AC$ y a $BC$ es el mixtilinear de $ABC$, entonces queremos ver que si $I$ es el incentro de $ABC$ y $N$ el punto medio de $AC$ entonces $IN$ es perpendicular a $CI$.

Sea $D$ el pinto de intersección del incírculo de $ABC$ con $AC$ y $K$ el del $B$excírculo con $AC$. Usaremos que $AC+BA=3BC$.

Luego, $CK=CB$, entonces $CI$ es perpendicular a $BK$. Sea $Y$ punto de intersección de $DI$ con el incírculo de $ABC$ con $Y≠D$. Como $DI=IY$ y $DN=NK$, $IN$ y $BK$ son paralelas. Entonces, $IN$ es perpendicular a $CI$ y terminamos.

Oriol Andreu Solé dijo...

El problema es un caso particular del siguiente lema:

Dado un triángulo $ABC$ con $P$ y $Q$ los puntos de tangencia del mixtilinear de $B$ en $AB$ y $BC$, respectivamente, y $R$ y $S$ los puntos de tangencia del mixtilinear de $C$ en $AC$ y $CB$, también respectivamente, entonces $PR$ es paralela a $BC$.

Para probar el lema, consideremos $I$ el incentro de $ABC$, es conocido que $I$ es el punto medio tanto de $PQ$ como de $SR$, ahora es fácil ver (por LAL) que $PIR$ es congruente a $QIS$, por angulitos se sigue que $PR$ es paralela a $SQ$, es decir, que $PR$ es paralela a $BC$, como queríamos.

Aquí aparece la prueba del hecho conocido que usamos (Theorem 1 ($i$)) junto con algunas otras cosas de mixtilineares.

Oriol Andreu Solé dijo...

https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2016-04/article1_mixtilinear.pdf

Lalo dijo...

Muy bien Ari, Isaac, Ori entre los tres usaron las técnicas que quería ejemplificar para atacar este estilo de problemas.

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