martes, 20 de junio de 2017

Martes de Combi (¡En martes!)

Hola Chicos

Hoy no les quedo mal.

Sean $a,b$ dos números naturales distintos. El conjunto $\{ x, y, z \}$, con x < y < z se dice $(a,b)$-adaptado si $\{z-y, y-x\} = \{ a, b \}$. Prueba que el conjunto de números naturales puede escribirse como unión de conjuntos $(a,b)$-adaptados disjuntos.

2 comentarios:

Alef dijo...

Vamos a hacerlo por medio de un algoritmo. A cada paso vamos a crear un conjunto adaptado cuyo menor elemento $x$ sea el menor entero que aún no está en un conjunto adaptado. Supongamos que no es posible hacerlo sin usar algún número que ya esta en un conjunto adaptado y notemos que $z = x+a+b$ en cualquier caso por lo que si $x$ aún no está en un conjunto adaptado tampoco $z$ lo está. Por lo tanto debemos tener que $x+a,x+b$ ya están en un conjunto adaptado. Asumamos que $a>b$. Si $x+a$ es el elemento más grande del conjunto adaptado en la que está entonces el elemento más pequeño en esa pareja es $x-b$ y como no contiene a $x$ tienen que ser $(x-b,x-b+a,x+a). Como $a>b$ tenemos $x-b+a > x$ y por lo tanto podemos cambiar el conjunto $(x-b,x-b+a,x+a)$ por $(x-b,x,x+a)$ que también es adaptada y contiene a $x$ ya que el número que quitamos es $x-b+a > x$ y por tanto logramos colocar todos los números del $1$ al $x$ en parejas adaptadas. Si $x+a$ es el elemento medio de su conjunto debe de ser $(x+a-b,x+a,x+2a)$ pero es imposible que esta sea una pareja adaptada pues el algoritmo sólo crea parejas cuyo mínimo elemento es el menor entero que aún no está en una pareja y $x+a-b > x$, por un razonamiento similar $x+a$ no puede ser el menor elemento de una conjunto adaptado por lo que podemos concluir.

Ariel dijo...

Misma solución que alef

Publicar un comentario