lunes, 19 de junio de 2017

Problema del sabado 17 de junio

Muestra que un torneo con 799 equipos, existen 14 equipos tales que, cada uno de los primeros 7 equipos han ganado el juego en contra de cada uno de los últimos 7 equipos.

4 comentarios:

Alef dijo...
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Alef dijo...

Sean $1,2,\dots, 799$ los equipos. Dados $7$ equipos al azar vamos a calcular el valor esperado de equipos a los que los $7$ les ganan. Para un equipo $k$ sea $X_k$ la variable aleatoria que es $1$ si los $7$ equipos dados le ganan y $0$ si no. Por linearidad del valor esperado el valor que buscamos es $\sum_{i=1}^{799} E[X_i]$ y $E[X_i]$ es simplemente la probabilidad de que $i$ pierda contra $7$ equipos escogidos al azar. Sea $f(i)$ el número de equipos contra los que $i$ perdió, entonces esta probabilidad es simplemente $\dfrac{\dbinom{f(i)}{7}}{\dbinom{798}{7}}$.
Por lo tanto el valor esperado buscado es:
$\sum_{i=1}^{799} \dfrac{\dbinom{f(i)}{7}}{\dbinom{798}{7}}$.
Por cada juego hubo un ganador y un perdedor entonces $f(1)+\dots+f(799) = 799*399$. Entonces por Jensen ya que $f(x) = \dbinom{x}{7}$ es convexa el valor esperado es al menos
$$\dfrac{799 \cdot \dbinom{399}{7}}{\dbinom{798}{7}} > 6.07$$
Como la función sólo toma valores enteros deben existir $7$ equipos que le ganen a al menos otros $7$ por lo que terminamos.

Ariel dijo...

Misma solución que Alef

Victor De La Fuente dijo...
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