domingo, 15 de agosto de 2010

Problema del 15 de agosto

Prueba que cada numero entre 1 y n! puede ser escrito como la suma de a lo mas n divisores distintos de n!

16 comentarios:

DANIELIMO dijo...

Ya habia hecho el problema

rvaldez dijo...

Este problema se los puse hace dos an~os y este an~o a los centros

Flavio dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Flavio dijo...

Por induccion
Base n=1, 1=1 si cumple
hipotesis se vale para n-1
sea f el numero que queremos formar entonces f=nk+r con $0 /le r /l n$, y $k /le (n-1)! $ entonces por hipotesis k se puede escribir como suma de a lo mas n-1 divisores de (n-1)!, y como d|(n-1)! entonces nd|n!, entonces al multiplicarlos por n esa suma se convierte en una suma de a lo mas n-1 divisores de n!, distintos y multiplos de n. Luego el r es un divisor de n por ser menor a n o es cero, en cuyo caso no se considera sumarlo, y como es menor a n no es multiplo de n y debe ser distinto a los otros divisores que ya teniamos

Flavio dijo...

era $0\le r \l n$ y $k \le \left(n-1\right)!$

Flavio dijo...

<

IwakuraIsa dijo...

Para desigualdades estrictas puedes usar \textless y \textgreater

Flavio dijo...

pense que se podia poner $\l$

Quique12 dijo...

$a < b$

Quique12 dijo...

Porque poner \textless si se puede poner <?

IwakuraIsa dijo...

Porque blogger lo confunde con html

IrvinG dijo...

Haré la prueba por inducción. Para la base de inducción tomamos $n=1$ y el resultado es inmediato. Supongamos ahora que para algún $n\in \mathbb{N}$ podemos escribir cualquier número entre 1 y $n!$ como suma de $n$ o menos divisores de $n!$. Notemos que si $d$ es divisor de $n!$ entonces $(n+1)d$ es divisor de $(n+1)!$. Luego veamos que todo número entre 1 y $(n+1)!$ de la forma $(n+1)k$ puede ser escrito como la suma de a los más $n$ divisores de $(n+1)!$, todos ellos mayores o iguales que $n+1$. Esto porque $1\le k\le n!$, así que por hipótesis de inducción \[k=d_{1}+d_{2}+...+d_{r}\] donde $d_{i}$ es divisor de $n!$ y $r\le n$. Entonces podemos tomar \[(n+1)k=(n+1)d_{1}+(n+1)d_{2}+...+(n+1)d_{r}\] porque sabemos que $(n+1)d_{i}$ divide a $(n+1)!$ y claramente $(n+1)d_{i}\ge n+1$.
\\

Finalmente, todos los números no divisibles entre $n+1$ los escribimos como $(n+1)k+r$ con $1\le r\le n$. Ya sabemos que $(n+1)k$ lo podemos escribir como suma de a lo más $n$ divisores, mayores o iguales a $n+1$, de $(n+1)!$ y además $r\textless n+1$ es divisor de $(n+1)!$, entonces podemos escribir $(n+1)k+r$ como suma $n+1$ o menos divisores de $n+1!$ $\blacksquare$

Georges dijo...

Procederemos por inducción. Para n=1 si es cierto. Ahora supongamos que para algun n se cumple que si t es un entero 0<t<(n)!+1 entonces existen k divisores distintos de n! k<n+1 tales que d_1+d_2+...+d_k=t. Pero es claro ver que si d_i divide a n! entonces (d_i)(n+1) divide a (n+1)!. Por lo tanto para cada entero no negativo t<n!+1 existen k, k<n+1 divisores distintos de (n+1)! (con cada divisor mayor o igual a n+1 por que son multiplos de n+1) tales que c_1+c_2+...c_k=(n+1)t. Por lo tanto si tomas un entero 0<r<n+1 entonces r divide a (n+1)! y vas a poder escribir a cada entero de 1-(n+1)! como (n+1)t+r y como r<n+1 y es un divisor de (n+1)! entonces vas a poder escribir a cada entero de 1-(n+1)! como la suma de a lo mas n+1 divisores distintos de (n+1)! por lo tanto la inducción esta completa. Fin

José Luis Miranda Olvera dijo...

Para n=1 se cumple el problema, ahora supongamos que es cierto hasta algun .

Para n+1
Cualquier numero entre 1 y n! se puede obtener como la suma de a lo mas n divisores de n! por induccion,
Cualquier numero entre 1 y n+1 es divisor de n+1! y se puede escribir como el mismo.

Para a menor o igual a n! y mayor a 0, a=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}, donde a_{i} divide a n!, k menor a n+1
a(n+1)=a_{1}(n+1)+...a_{n+1}, se puede escribir como la suma de a lo mas n divisores de (n+1)!, ya que a_{i}(n+1) divide a (n+1)!.
a(n+1)+b=a_{1}(n+1)+...a_{n+1}+b, con b menor a n+1 se puede escribri como la suma de a lo mas n+1 divisores de (n+1)! .
Cualquier numero entre 1 y (n+1)!+n se puede escribir como la suma de a lo mas n+1 divisores de (n+1)!

Georges dijo...

Sea $S=\{1, 2, ..., n\}$ y sea $\{A_i\}$ el conjunto de subconjuntos de $S$ que contienen elementos no consecutivos de $S$ . Si $D(A_i)$ es el producto de los elementos de $A_i$ (con $D(\emptyset) =1$), muestren que

$$\sum_i D(A_i)^2 =(n+1)!$$

Georges dijo...

Sea $S=\{1, 2, ..., n\}$ y sea $\{A_i\}$ el conjunto de subconjuntos de $S$ que contienen elementos no consecutivos de $S$ . Si $D(A_i)$ es el producto de los elementos de $A_i$ (con $D(\emptyset) =1$), muestren que

$$\sum_i D(A_i)^2 =(n+1)!$$

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