martes, 17 de agosto de 2010

Problema del 16 de agosto (unas horas tarde)

Hola,

Les dejo este problema:

"En un círculo se escriben números rojos y números azules. Cada número rojo es la suma de los dos números que están a sus lados, y cada número azul es la mitad de la suma de los números que están a sus lados. Demuestra que la suma de los números rojos es cero."

Al rato checo para ver si ya les salió o dejo una sugerencia,

Saludos,

Pablo

9 comentarios:

DANIELIMO dijo...

son enteros o no importa?

Georges dijo...

Un número rojo es igual a la suma de sus vecinos, y dos veces un número azul es igual a la suma de sus vecinos, por lo tanto si sumamos todos los rojos mas dos veces todos los azules nos van a dar la suma de todos los vecinos de algun número, que es claramente igual a 2 veces todos los números del círculo (cada número tiene 2 vecinos), cancelando en la ecuación tenemos que la suma de los rojos es 0. FIN

DANIELIMO dijo...

ya me salio, luego lo pongo

DANIELIMO dijo...

que es lo que cancelas en la ecuacion?

DANIELIMO dijo...

sean x1,x2,x3,x4 cuatro numeros consecutivos, notamos que si x2,x3 son azules x1+x4=x2+x3, si x2,x3 son Rojos x1+x4=0 y si x2 es azul y x3 es rojo x1+x4=x2 y si x3 es azul y x2 es rojo x1+x4=x3, de cualquier formas vemos que en cada caso la suma de x1 y x4 es igual ala suma de los que son azules de x2 y x3, de esta manera si nos fijamos en todos los posibles grupos de cuatro numeros consecutivos, la suma de los x1,x4 sera dos veces la total, y sera igual a la suma de dos veces los numeros azules, por lo tanto la suma de los rojos es cero.

Georges dijo...

Sean a_i los azules y r_i los rojos entonces nos queda la ecuación 2suma(a_i)+suma(r_i)=2suma(a_i)+2suma(r_i). Por lo tanto el lado derecho se cancela y te queda suma(r_i)=0.
Si esta claro??

IrvinG dijo...

Está padre este problema. Supongamos que los números en la circunferencia son $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$, en ese orden. Los números azules son $a_{b_{1}},a_{b_{2}},...,a_{b_{s}}$ y los números rojos $a_{r_{1}},a_{r_{2}},...,a_{r_{t}}$. Entonces

\begin{align*}
a_{1}+a_{2}+...+a_{n}&=(a_{b_{1}}+a_{b_{2}}+...+a_{b_{s}})+(a_{r_{1}}+a_{r_{2}}+...+a_{r_{t}})\\
&= [a_{b_{1}}+a_{b_{2}}+...+a_{b_{s}}+\frac{1}{2}(a_{r_{1}}+a_{r_{2}}+...+a_{r_{t}})]+\frac{1}{2}(a_{r_{1}}+a_{r_{2}}+...+a_{r_{t}})\\
&= \frac{1}{2}(2a_{1}+2a_{2}+...+2a_{n})+\frac{1}{2}(a_{r_{1}}+a_{r_{2}}+...+a_{r_{t}})
\end{align*}

Entonces $\frac{1}{2}(a_{r_{1}}+a_{r_{2}}+...+a_{r_{t}})=0$, de donde lo que pide el problema es inmediato.$\blacksquare$

José Luis Miranda Olvera dijo...

Sean:
A la suma de los numeros azules,
B la suma de los numeros rojos,
C la " " que tienen a sus dos lados numeros azules,
D la "" que tienen a sus lados un numero rojo y un azul,
E "" que tinen dos numeros rojos a los lados.

A+B=C+(3/2)D+2E=A+B+(1/2)D+E,
entonces 0=(1/2)D+E=D+2E=B

ya que al sumar todos los numeros y cambiar cada uno por la suma o semisuma de los 2 numeros a los lados, segun corresponda, aparecen 1 vez los que tienen a los lados 2 azules, 3/2 los que tienen un azul y un rojo y 2 veces los que tienen dos rojos.

Pablo Soberón Bravo dijo...

Qué bueno que les salió. Una pregunta adicional al respecto es si pueden dar un acomodo donde no todos los números sean 0.

Saludos,

Pablo

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