martes, 31 de agosto de 2010

Problema 31 de Agosto 2010

Demostrar que para cada numero natural n hay una potencia de 2 cuya expresion decimal tiene entre sus ultimos n digitos (de la derecha)mas de (2/3)n - 1 digitos que son iguales a cero.

8 comentarios:

Flavio dijo...

Solo he visto que si la potencia es 2^k entonces k>=n, ahora voy a ver las cosas modulo 10^n y entonces 2^k congruente a (2^n)*t con (t,5)=1, ademas, ya vi que 2 es raiz primitiva modulo 5^n, entonces 2^k si pasa por todos los (2^n)*t con (t,5)=1

Flavio dijo...

Aaa ya me salio, primero vemos que
2^(n + 4*k*(5^(n-1))) es congruente a 2^n modulo 10^n, para toda k>=0
por que ambas potencias de 2 son cero modulo 2^n, y como phi(5^n)= (4*(5^(n-1)))
tambien son congruentes modulo 5^n, entonces tomamos k suficientemente
grande para que ese numero d = (2^(n + 4*k*(5^(n-1)))) tenga mas de n cifras
entonces ese numero d tiene sus ultimas cifras iguales a las ultimas cifras de 2^n,
pero 2^n tiene claramente menos de n cifras, y muchas de estas vana a ser cero
(las que le faltan a 2^n al principio para completar n cifras)
ahora vamos a ver que 2^n tiene a lo mas techo(n/3) cifras.
esto por que
si n=3k-r, con r entre 0 y 2 inclusive, entonces techo(n/3)=k.
entonces hay que demostrar que 2^n<10^k,pero 2^n<=2^(3k)=8^k<10^k, entonces
ya esta demostrado, y 2^n tiene a lo mas techo(n/3) cifras
entonces a 2^n le faltan al menos n-techo(n/3) cifras al principio para completar
n cifras, entonces la potencia de 2 que tomamos, tiene al menos
n-techo(n/3) cifras cero, pero techo(n/3)<=n/3 + 1
entonces n - techo(n/3) >=n - (n/3 + 1)=n*(2/3)-1, que es lo que queria demostrar.

Flavio dijo...

bueno para que el mas que 2/3 * n -1 se cumpla estrictamente hay que ver el caso 3|n y 3 no divide a n. si 3 no divide a n entonces techo(n/3) es menor estricto que n/3 + 1 entonces el numero de cifras es mayor a n - (n/3 + 1) = (2/3)*n - 1, y si se cumple estrictamente, si n es divisible entre 3 y n = 3r, entonces 2^n tiene a lo mas r cifras. Luego techo(n/3) = n/3 = r, luego la potencia de dos tiene al menos n-n/3 = (2/3)*n cifras,
pero (2/3)*n> (2/3)*n-1, entonces ya se cumple estrictamente en ambos casos.

IrvinG dijo...

Apenas lo voy a intentar!

IrvinG dijo...

Yo estoy ntentando lo mismo, viendo que como 2 es raíz primitiva de 25 entonces es raíz primitiva de $5^a$. Luego consideramos $2^{m}$ con $m$ mayor que $n$ y entonces $2^{k}\equiv 0 \pmod{2^{n}}$ y $2^{k}\equiv s\pmod{5^{n}}$, con s cualquier entero tal que $(s,5)=1$. Por teorema Chino del Residuo se tiene
\[2^{k}\equiv 2^{\phi(5^{n})}s\pmod{10^{n}}\]

IrvinG dijo...

Ahora hay que ver que podemos escoger $s$ de forma que $2^{\phi(5^{n})}s$ sea un número con al menos $\frac{2}{3}n-1$ ceros en sus últimas $n$ cifras

DANIELIMO dijo...

no lo he intentado mucho, pero no se me ocurre que hacer

Manuel Dosal dijo...

yo ya lo intente un poco pero todavia no sale algo

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