jueves, 19 de enero de 2012
Problema del Día: Jueves 19 de Enero de 2012
Encuentre todos los números reales $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{2012} \geq 0$ que satisfagan el sistema de ecuaciones $x^2_{i+1} + x_{i+1}x_i + x_i^4 = 1$ para $i=0, 1, \ldots, 2012$, donde $x_{2013} = x_0$.
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8 comentarios:
Consideramos la función $f(\alpha)=\displaystyle\frac{\sqrt{\alpha^2+4-4\alpha^4}-\alpha}{2}$. Es fácil ver que está definida en puntos negativos y en el intervalo [0, 1]. (Así, $0 \le x_i \le 1$ para todo i). Además, su único punto fijo positivo es $x=\sqrt{\sqrt{2}-1}$ (sale una cuadrática en $x^2$), y en el intervalo [0, 1] es decreciente, empieza en el punto (0, 1), termina en (1, 0), e intersecta a la línea $y=x$ en $\sqrt{\sqrt{2}-1}$. Además, por una propiedad geométrica fácil de ver, si (x, f(x)) es un punto en la gráfica de f con x no negativo, (f(x), f(f(x))) estárá de diferente lado que (x, f(x)) de la línea $y=x$. Realmente sirve graficar la recta y la función. Así, ésto nos dice que, si $x_i=\sqrt{\sqrt{2}-1}$ es falso, entonces $sgn(x_i-\sqrt{\sqrt{2}-1}) = -sgn(x_{i+1}-\sqrt{\sqrt{2}-1})$. Pero entonces ésto nos dice que si ninguna x es $\sqrt{\sqrt{2}-1}$, entonces $sgn(x_0-\sqrt{\sqrt{2}-1}) = -sgn(x_{0}-\sqrt{\sqrt{2}-1})$, pues 2013, el número de x's, es impar. Pero esto es falso pues el signo no es 0. Por tanto, alguna x debe ser $\sqrt{\sqrt{2}-1}$, sin pérdida de generalidad, $x_0=\sqrt{\sqrt{2}-1}$. Así, resolviendo para $x_1=f(x_0)$, tendremos que $x_1=x_0$. Por un argumento inductivo, tendremos que todas las x son iguales. Por tanto, la única solución es:
$x_0=x_1=\ldots=x_{2012}=x_{2013}=\sqrt{\sqrt{2}-1}$. Quod erat demonstrandum. $\clubsuit$.
Se me olvidó decir que como son positivos, resolviendo la cuadrática dada, tenemos que $f(x_{i})=x_{i+1}$.
Analizaremos el comportamiento de $f(x)=\frac{-x+\sqrt{-4x^{4}+x^{2}+4}}{2}$, pues es fácil ver que $f(x_{i})=x_{i+1}$ (la posibilidad de la raíz negativa es eliminada pues en caso contrario, $x_{i+1}$ sería negativo en cualquier caso para $x_{i}\geq 0$). Ahora veamos que en la ecuación del enunciado, si $x_{i}\textgreater 1$ para cualquier $x_{i}$, entonces $x_{i+1}^{2}+x_{i}x_{i+1}$ debe ser negativo y es contradicción pues $x_{i+1}\geq 0$, así que $1\geq x_{i}\geq 0\forall i=1,2,\dots,2012$.
Hablaremos siempre del intervalo $[0,1]$. Derivamos a $f$ para ver que $f’(x)=\frac{-1}{2}+\frac{1}{4\sqrt{-4x^{4}+x^{2}+4}}$. Ahora consideremos a $g(x)= -4x^{2}+x+4$, dado que su máximo está en $x=\frac{1}{8}$, entonces si $h(xˆ{2})=g(x)$, entonces su máximo global está en $x=\frac{1}{2\sqrt{2}}$, y entonces en ese intervalo, el valor más pequeño es $g(0)$ ó $g(1)$ y es $1$ así que en ese intervalo $g(x)\geq 1$, por lo que $f’(x)$ siempre es negativo en ese intervalo, pues $\frac{1}{4\sqrt{-4x^{4}+x^{2}+4}}\textless \frac{1}{2}$ es ese intervalo, así que $f$ es estrictamente decreciente y como $f(0)=1$, entonces es menor a uno en todo el intervalo.
Veamos que si $x\textgreater \sqrt{\sqrt{2}-1}$ entonces $f(x)\textless \sqrt{\sqrt{2}-1}$ y si $x\textless\sqrt{\sqrt{2}-1}$ entonces $f(x)\textgreater \sqrt{\sqrt{2}-1}$. La demostración del primero y del segundo son análogos, pues $f(\sqrt{\sqrt{2}-1})=\sqrt{\sqrt{2}-1}$ y vimos que es estrictamente decreciente, lo que implica que en el caso inicial, $f(x)\textless \sqrt{\sqrt{2}-1}$. Así que consideramos los intervalos $A=[0, \sqrt{\sqrt{2}-1})$ y $B=(\sqrt{\sqrt{2}-1},1]$, si $x_{i}\in A$, entonces $x_{i+1}\in B$ y viceversa, por lo que $x_{2i}$ para toda $i$ están en el mismo intervalo $A$ o $B$ y los demás en el otro, por lo que sin pérdida de generalidad $x_{0}\in A$ y $x_{2013}\in B$ lo cual no tiene sentido, así que la única posible solución es que todos sean $\sqrt{\sqrt{2}-1}$.
Los cuadros rojos salen por f'(x), lo siento, también en algún punto por alguna razón puso una E dentro de una $h$, cuando era $h(x^{2})$, no sé qué pasó...
Perdón, derive mal, queda así $k(x)=-\frac{1}{2}-\frac{x(4x^{2}-2)}{\sqrt{-4x^{4}+x^{2}+4}}$ y el numerador de la segunda fracción es negativa en $[0,\frac{1}{\sqrt{2}})$ y positivo en $(\frac{1}{\sqrt{2}},1]$ y entonces, si es positivo, $k(x)$ es negativo, y de lo contrario, el valor con mayor valor absoluto es una solución a su derivada (del numerador) $r(x)=12x^{2}-2$ por lo que $x=\frac{1}{\sqrt{6}}$ y sin embargo al evaluarlo nos da que $x(4x^{2}-2)=\frac{-4}{3\sqrt{6}}$ pero es claramente menor a $\frac{-1}{2}$ y su denominador siempre es mayor o igual a $1$, así que $k(x)$ es negativa en todo el intervalo, como queríamos, el resto de la solución es igual.
Ah, y claro que si es $\frac{1}{\sqrt{2}}$, nos da cero y también es negativa.
Tenemos que $(x_i,x_{i+1})$ es solución de reales no negativos $(a,x)$ de $a^2+ax+x^4=1$. Es facil ver que $a,x\geq 1$, y por lo tanto $a,x\in [0,1]$.
Es claro ver, completando la cuadratica, que $a=\frac{\sqrt{x^2-4(1-x^4)}{2}=f(x)$, forzosamente con signo positivo en la raiz ya que si fuera negativo entonces $a$ también lo seria, llevando a una contradicción. Sea $g(r)=r^2+xr+x^4$, con $x$ fijo. Tenemos que $g$ es continua sobre $a$ y entonces como $g(1)\geq 1$ y $g(0)\leq 1$, existe un $c\in [0,1]$ tal que $g(c)=1$. Entonces $f(x)\in [0,1]$ para todo $x\in [0,1]$.
Si tenemos que $(a,x)$ y $(b,y)$ ambas cumplen, y $x>y$ entonces si $a\geq b$ tendriamos que $1=a^2+ax+x^4\geq b^2+bx+x^4>b^2+by+y^4$, dando una contradicción. Entonces $a<b$. Asi que $f(x)$ es decreciente. En particular, $f(x)=x$ solo cuando $x=\sqrt{\sqrt{2}-1}=t$, ya que entonces tendriamos que $2x^2+x^4-1=0$ y con $r=x^2$ se resuelve la cuadratica y sale tal $x$.
Sea $A=[0,t]$ y $B=[t,1]$. Como $f(x)$ es creciente estricta en $[0,1]$ entonces si $x\in A$ entonces $t\geq x\geq 0$ entonces $f(t)\leq f(x)\leq f(0)$ entonces $t\leq f(x)\leq 1$ por lo que $f(x)\in B$. Similarmente, si $x\in B$, entonces $f(x)\in A$.
Tenemos que $f^i(x_0)=x_i$, donde $f^1=f$ y $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))$. Entonce si $x_0\in A$, entonces $f^{2013}(x_0)=x_{2013}\in B$. Pero $x_{2013}=x_0$ entonces $x_0\in A$. Similarmente si $x_0\in B$, entonces $x_0=x_{2013}\in A$. Como $A$ y $B$ juntos hacen $[0,1]$, entonces almenos una se cumple, entonces la otra también. Asi que $x_0$ esta en la intersección de $A$ y $B$, que es $[t,t]$. Entonces $x_0=t$. Por lo tanto $x_i=f^i(x_0)=f^i(t)=t$ para toda $i$.
Es facil ver que esa secuencia cumple, por la definición de $t$ como la raiz en $[0,1]$ que cumpla $2x^2+x^4-1=0$. Asi que $x_i=\sqrt{\sqrt{2}-1}$ es la unica secuencia que cumple. QED
Perdón, no es menor a $\frac{-1}{2}$, pero derivando y encontrando las raíces, podemos encontrar su máximo local en ese intervalo (de cualquier modo el denominador no va a importar pues igualaremos a cero y exaluando en ese punto que será el mismo que ya vimos, arriba ya abajo, vemos que todo si es menor a $\frac{-1}{2}$ y ya con eso acabamos.
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