lunes, 1 de julio de 2013

Problema del Día (Adán)

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2n}$ enteros distintos tales que la ecuación

\[\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\cdots \left(x-a_{2n}\right)-\left(-1\right)^{n}\left(n!\right)^{2}=0\]
tiene una solución entera $s$. Muestra que

\[2n\mid a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2n}.\]

1 comentario:

Juan dijo...

¿No es nada más ésto? Como $\{s-a_1,...,s-a_{2n}\}$ tiene $2n$ elementos enteros distintos, su multiplicación en valor absoluto es a lo más

$max|(s-a_1)...(s-a_{2n})|=$$|1(-1)2(-2)...n(-n)|=(n!)^2$

que ocurre sólo cuando $\{s-a_1,...,s-a_{2n}\}=\{1,-1,...,n,-n\}$. Así, $\{a_1,...,a_{2n}\}=\{x-1,x+1,...,x-n,x+n\} $ y $a_1+...+a_{2n}=2ns$ por lo que $2n | a_1+...+a_{2n}$.

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