miércoles, 26 de junio de 2013

Problema del día (26-06-2013) (Chiu)

Unos más o menos fáciles:

$a)$ Prueba que la suma de los dígitos (en decimal) de todo múltiplo mayor que 0 de $\underbrace{11...1}_m$ es mayor o igual que $m$.

$b)$ Prueba que existe un múltiplo de $5^{2013}$ que no tiene ningún dígito cero en su expansión decimal.

13 comentarios:

Juan dijo...
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Adán Medrano Martín del Campo dijo...

Problemas de cifras por si acaso ;)

Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...

(a) Procedo por contradicción. Supongamos que existen múltiplos de $X_m=\underbrace{1\ldots 1}_m$ cuya suma de dígitos es menor a $m$. Defino $A$ el conjunto de los naturales múltiplos de $X_m$ cuya suma de dígitos es mínima, y defino $M$ el mínimo de $A$. Tomemos la expansión decimal de $M=a_1Ya_2Y\ldots Ya_kY$, donde los $a_i$ son los dígitos no $0$ y los $Y$ representan bloques (posiblemente nulos) de dígitos de 0. Defino la posición de un dígito como el número de dígitos que tiene a su derecha en $M$, más uno. Ahora, obviamente $k \le m-1$. Bueno, fijémonos que $a \underbrace{0...0}_m \equiv a$ (mod $X_m$), por lo que si "movemos" un dígito un número mútiplo de $m$ de posiciones, $M$ seguirá siendo múltiplo de $X_m$. Ahora, para el dígito $a_i$ defino $A_i=a_i0...0$, donde el número de 0's es menor a $m$ y congruente a la posición de $a_i$. Ahora, voy sumando las $A_i$, y cuando hay un acarreo lo hago, y si ocurre que el $m$-ésimo dígito es mayor a $9$, hago un acarreo "mod $m$", es decir, por ejemplo si en la $m$-ésima cifra tengo $9+9$, le sumo $1$ a la primera cifra y la última cifra la dejo en $8$. Eventualmente ya no habrá más acarreos (pues en cada acarreo la suma de los dígitos disminuye por $9$ al menos, y no puede disminuir infinitamente), y al número que queda le llamo $X$. $X$ tiene a lo más $m$ cifras, suma de dígitos menor a $m$, y es múltiplo de $X_m$. Contradiccion. Acabo. $\blacksquare$

Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...

(b) Fijémonos que para $5^x | y$, sólo los últimos $x$ dígitos de $y$ importan. Ahora, Muestro que para todo $m$ existe un número de $m$ cifras, ninguna de las cuales es $0$, múltiplo de $5^m$, con inducción. $m=1$ sirve obviamente. Ahora, le llamo $C_m$ a un número de $m$ cifras no $0$ que es divisible entre $5^m$, para $1 \le m \le n$, demostraré que existe un número de $n+1$ cifras múltiplo de $5^{n+1}$, ¿no? Pues notemos que si defino la operacion & como a&b=ab, por ejemplo 16&76=1676, 88&555=88555, entonces $5^n | 1$&$C_n$, $3$&$C_n$,...,$9$&$C_n$, y $1\underbrace{0...0}_n$, ..., $9 \underbrace{0...0}_n$ son todos distintos mod $5^{n+1}$, por lo que alguno de esos $5$ números ($1$&$C_n$,...,$9$&$C_n$) será divisible entre $5^{n+1}$; y a ese lo definimos como $C_{n+1}$. Acabo. $\blacksquare$

Adán Medrano Martín del Campo dijo...
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Adán Medrano Martín del Campo dijo...

Se me pasó comentar...

Creo que hice esto:

Para el inciso $a$, sea

\[a_{m}=\underbrace{11\ldots11}_{m}.\]

Con eso, notemos que

\[S\left(\left(n+1\right)a_{m}\right)=S\left(a_{m}\right)+S\left(na_{m}\right)-9x\]

donde $x$ es la cantidad de dígitos $9$ en las primeras $m$ cifras de $na_{m}$. Claramente, queremos que

\[S\left(na_{m}\right)\geq 9x\]

pero esto es claro, pues $9x$ es la suma de los dígitos $9$ en las primeras $m$ cifras de $na_{m}$ y $S\left(na_{m}\right)$ es la suma de todas las cifras de $na_{m}$. Entonces

\[S\left(\left(n+1\right)a_{m}\right)=S\left(a_{m}\right)+S\left(na_{m}\right)-9x\geq S\left(a_{m}\right)=m.\]

Para el inciso $b$ usé que, si tomamos los $5^{2013}$ enteros positivos de $2013$ cifras, con todas sus cifras impares, estos son distintos $\pmod{5^{2013}}$ por lo que hay exactamente un múltiplo de $5^{2013}$ y acabamos.

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