sábado, 14 de junio de 2014

Problema del día 14/06/2014

Sea P un polígono convexo. Demuestra que existe un hexágono contenido dentro de P cuyo área es al menos 3/4 el área de P.
Dedicado a: Juan.

Sea ABC un triángulo y P un punto exterior a el en el plano. Supon que AP, BP y CP interctan a los lados BC, CA, AB (o sus extensiones) en D, E y F respectivamente. Ademas, supón que las áreas de los triángulos PBD, PCE y PAF son iguales. Demuestra que esas áreas son igual al área de ABC.
Dedicado a: Diego.

4 comentarios:

Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...
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Juan dijo...

Sea el convexo $P$ de área $4$. Tomemos el triángulo $ABC$ con área maximal, de área $X$. Por Chuy sabemos que tiene área al menos $2$. Ahora, tomemos las tangentes $a,b,c$ al convexo por $A,B$ y $C$, respectivamente, y sea $T=A_1B_1C_1$ el triángulo que forman. Hay dos casos:

1. $T$ tiene a $P$ en su interior

En éste caso, $A$ y $A_1$ están de distintos lados de $BC$. Entonces, tomemos el punto $A_2$ sobre el arco $BC$ de $P$ que no contiene a $A$, tal que $BCA_2$ tiene área maximal. Tomemos $X,Y$ las intersecciones de la paralela a $BC$ por $A_2$ (que es tangente a $P$) con $b,c$. $XYBC$ es un trapecio isósceles y su base mayor es $BC$. De aquí vemos que el área de $A_2BC$ es al menos la mitad del área de $XYBC$, y por tanto es al menos la mitad del área de la parte de $P$ que está del mismo lado de $BC$ que $A_2$.

Entonces el hexágono $AC_2BA_2CB_2$ tendrá área $X+\frac{1-X}{2} \ge 3$ y acabo.

2. $T$ y $P$ son disjuntos.

En éste caso, tomemos $B_3$ y $C_3$ sobre $P$ muy cerca de $B,C$ (pero del otro lado de $BC$ que $A$) tales que $B_3C_3 || BC$. Verificaré que $(AB_3C_3) \textgreater (ABC)$ para acabar. Para ver ésto, necesito solamente que $B_3C_3 \textgreater BC$. Si tomo $B_3,C_3$ sobre $b$ y $c$ que cumplan esas condiciones, tendré $B_3C_3 \textgreater BC$. Pero $P$ se aproxima tanto como quiera a $b$ y a $c$. Entonces sí puedo tomar tales puntos $B$ y $C$.

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