jueves, 16 de junio de 2016

Problemas 16 junio

1. ¿Existirá una sucesión de enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ que cumpla que
para toda pareja de enteros $n \geq m$ $a_1+a_2+...+a_m$ no divida a $a_{m+1}+...+a_n$?

2. Un entero $m$ es una $k-esima$ potencia si existe un entero $x$ tal que $x^k =m$.
Demuestra que para todo entero $n$ existe un conjunto de $n$ enteros positivos distintos tal que su suma es una $2009-esima$ potencia y su producto una $2010-esima$ potencia.

3. Encuentra todas las funciones inyectivas de reales a reales tales que para todo real $x$ y todo entero $n$:
$ |\sum_{i=1}^n i(f(x+i+1)-f(f(x+i))| < 2016 $

3 comentarios:

Olga Medrano dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Olga Medrano dijo...
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Olga Medrano dijo...


1. Definimos $p_1, p_2, \cdots$ como la sucesión de los primos. Ahora, vamos a construir $a_1, a_2, \cdots $ de forma que para todo $k$, $p_k=a_1+ \cdots + a_k$ (notemos que claramente todos los $a_i$ son enteros positivos y sin problemas, ya que la sucesión de los primos es creciente).

Y como $a_1+ \cdots +a_m \mid a_{m+1}+\cdots +a_n \\ \Leftrightarrow a_1+ \cdots +a_m \mid a_1+\cdots +a_n \\ \Rightarrow p_m \mid p_n$, lo cual no es cierto ya que estos dos números son primos diferentes! Entonces la sucesión sí existe.

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