Problemas martes

1. Considera los polinomios

$$\[f(x) =\sum_{k=1}^{n}a_{k}x^{k}\quad $$ y

$$\[g(x) =\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{2^{k}-1}x^{k},\quad$$

Donde $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{n}$ son reales y $n$ entero positivo. Prueba que si $1$ y $2^{n+1}$ son raíces de $g$ entonces $f$ tiene una raíz positiva menor a $2^{n}$.

2. Sea $n$ un entero mayor a $1$. Para un entero positivo $m$ sea $S_{m}=\{ 1,2,\ldots, mn\}$. Supón que existe un conjunto $T$ de $2n$ elementos tal que

$a)$  Cada elemento de $T$ es un subconjunto de $m$ elementos de $S_{m}$,
$b)$ Cada par de elementos de $T$ tiene a lo más un elemento en común, y
$c)$ Cada elemento se $S_{m}$ está contenido en exactamente dos elementos de $T$.

Determina el mayor valor posible de $m$ en términos de $n$.

3. Una red de comunicaciones formada por algunas terminales se llama 3-conectada si para cualesquiera tres terminales, al menos dos de ellas se pueden comunicar directamente. Una red de comunicaciones contiene un molino con $n$ aspas si existen $n$ pares de terminales $\{x_{1},y_{1}\},\{x_{2},y_{2}\},\ldots,\{x_{n},y_{n}\}$ tal que cada $x_{i}$ puede comunicarse de manera directa con su respectivo $y_{i}$ y hay una terminal central que se comunica directamente con cada una de las $2n$ terminales $x_{1}, y_{1},\ldots,x_{n}, y_{n}$. Determina el menor valor posible $f(n)$ en términos de $n$, tal que una red 3-conectada con $f(n)$ terminales siempre contiene un molino con $n$ aspas.