viernes, 3 de junio de 2016

Problemas 3 de Junio

1. Sea $\omega$ una circunferencia y $C$ un punto fuera de ella. Sean $A$ y $B$ puntos distintos sobre $\omega$ tales que $CA$ y $CB$ son tangentes a $\omega$. Sea $X$ la reflexión de $A$ respecto a $B$ y sea $\gamma$ el circuncírculo del triángulo $BXC$. Supón que $\omega$ y $\gamma$ se intersectan en $D \neq B$, y sea $E \neq D$ la intersección de la recta $CD$ con $\omega$. Muestra que $EX$ es tangente a $\gamma$.

2. Sea $n \geq 4$ un entero. Determina todas las funciones $f \colon \{1, 2, \dots, n\}^2 \to \mathbb{R}$ tales que si tres conjuntos $A, B$ y $C$ forman una partición de $\{1, 2, \dots, n\}$ entonces

$$\sum_{a \in A} \sum_{b \in B} \sum_{c \in C} f(a, b)f(b, c) = \vert A \vert \vert B \vert \vert C \vert $$

3. Sea $p$ un primo, y sea $S_p$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes enteros no negativos y menores que $p$, y grado menor que $p$. Supón que para cualesquiera $P, Q \in S_p$ tales que $P(Q(n)) \equiv n \pmod{p}$ para todos los enteros $n$, se cumple que los grados de $P$ y $Q$ son iguales. Determina todos los posibles valores de $p$.

3 comentarios:

Víctor Hugo Almendra dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Víctor Hugo Almendra dijo...

Problema 1. Notemos que por estar $A,E,B,D$ en $\omega$, tenemos que $\angle BAE=\angle BDE$, como $CDBX$ cíclico, llegamos a que $\angle CXB=\angle BDE =\angle BAE$. Por las tangentes, notemos $\angle AEB=\angle CAB$. De esto tenrmo que $AEB$ y $XAC$ son semejantes, entonces $\frac{AE}{AX}=\frac{AB}{CX}$, y como $AB=BX$, tenemos $\frac{AE}{AX}=\frac{BX}{CX}$, y por LAL, es fácil ver que $CXB$ es semejante a $XAE$, de donde tenemos $\angle XCB=\angle AXE$, lo que implica que $EX$ tangente a $\gamma$, como queríamos.

Ariel dijo...

Hints en ROT13 (Para que no los vean por accidente. Vayan a http://www.rot13.com/ y se los traduce)

2. Qrzhrfgen dhr s gbzn ry zvfzb inybe pba yn cnerwn (n, o) dhr pba yn cnerwn (o, p).

3. Pbafvqren yb dhr cnfn pba ybf zbabzvbf cnen erqhpve n cbdhvgbf inyberf qr c.

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