jueves, 2 de septiembre de 2010

2 de septiembre de 2010

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC < \angle ACB$. Sean $D$, $E$ puntos sobre los lados $AC$ y $AB$ tal que los ángulos $ACB$ y $BED$ son congruentes. Si $F$ es un punto en el interior del cuadrilátero$BCDE$ tal que el circuncírculo del triángulo $BCF$ es tangente al circuncírculo de $DEF$ y el circuncírculo de $BEF$ es tangente al circuncírculo de $CDF$, prueba que los puntos $A$, $C$, $E$ y $F$ son concíclicos.

6 comentarios:

Flavio dijo...

he intentado perseguir angulos, pero no he sabido aprovechar bien que las circunferencias son tangentes

IrvinG dijo...

Ya tengo la solución pero quiero ponerla como figura, entonces mejor la pongo en un post nuevo.

DANIELIMO dijo...

Sean O1,O2,O3,O4 los respectivos circuncentros de los triangulos BFC,CFD,FDE,EFB. sabemos q los circuncentros estaran en las mediatrices de BF,CF,DF,EF. y que O1,F,O3 son colineales al igual que O2,F,O3. por lo tanto b=angFCB=angFO1O4
a=angFCD=angFO2O3,c=angFED=angFO3O2,d=angFEB=angFO4O1 entonces es facil ver por angulos que a+b=c+d y b+d=c+a de ahi que a=d y significa que AEFC es cíclico.

Manuel Dosal dijo...

Sea $t_{1}$ la tangente a los circuncirculos de los triangulos $BCF$ y $DEF$, y $t_{2}$ la tangente a los circuncirculos de los triangulos $BFE$ y $CDF$, y tomemos puntos $X_{1}$ y $X_{2}$ en $t_{1}$, $Y_{1}$ y $Y_{2}$ en $t_{2}$, tal que $\angle Y_{1}FD= \angle FCD$, $\angle Y_{2}FB= \angle FEB $\angle X_{1}FB= \angle FCB$ $\angle X_{2}FD= \angle FED$ por angulo seminscrito-inscrito ya que $t_{1}$ y $t_{2}$ son tangentes a los circuncirculos. Luego sabemos que $\angle Y_{2}FB + \angle X_{2}FD = \angle ADE$, $\angle Y_{1}FD + \angle X_{1}FB = \angle DCB$ pero $\angle DCB = \angle BED$, con lo que $\angle Y_{2}FB + \angle X_{2}FD =\angle Y_{1}FD + \angle X_{1}FB$, pero $\angle Y_{1}FX_{1} = \angle Y_{2}FX_{2}$ y $\angle Y_{2}FB + \angle X_{2}FD +\angle Y_{1}FD + \angle X_{1}FB + \angle Y_{1}FX_{1} + \angle Y_{2}FX_{2} = 360^{o}$, y por las igualdades al dividir entre 2 da que $\angle X_{1}FB + \angle Y_{1}FX_{1} + \angle DFY_{1} = 180^{o}$ con lo que $B$,$F$ y $D$ son colineales, y entonces $\angle Y_{1}FD = \angle BFY_{2}$ y entonces $\angle DCF = \angle FEB$ con lo que $FEAC$ es un cuadrilatero ciclico. FIN.

Manuel Dosal dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Manuel Dosal dijo...

Sea $t_{1}$ la tangente a los circuncirculos de los triangulos $BCF$ y $DEF$, y $t_{2}$ la tangente a los circuncirculos de los triangulos $BFE$ y $CDF$, y tomemos puntos $X_{1}$ y $X_{2}$ en $t_{1}$, $Y_{1}$ y $Y_{2}$ en $t_{2}$, tal que $\angle Y_{1}FD= \angle FCD$, $\angle Y_{2}FB= \angle FEB $$\angle X_{1}FB= \angle FCB$ y $\angle X_{2}FD= \angle FED$ por angulo seminscrito-inscrito ya que $t_{1}$ y $t_{2}$ son tangentes a los circuncirculos. Luego sabemos que $\angle Y_{2}FB + \angle X_{2}FD = \angle BED$, $\angle Y_{1}FD + \angle X_{1}FB = \angle DCB$ pero $\angle DCB = \angle BED$, con lo que $\angle Y_{2}FB + \angle X_{2}FD =\angle Y_{1}FD + \angle X_{1}FB$, pero $\angle Y_{1}FX_{1} = \angle Y_{2}FX_{2}$ y $\angle Y_{2}FB + \angle X_{2}FD +\angle Y_{2}FX_{2} = \angle X_{1}FB + \angle Y_{1}FX_{1} + \angle Y_{1}FD$, y como suman $360^{o}$ entonces $\angle X_{1}FB + \angle Y_{1}FX_{1} + \angle DFY_{1} = 180^{o}$ con lo que $B$,$F$ y $D$ son colineales, y entonces $\angle Y_{1}FD = \angle BFY_{2}$ y entonces $\angle DCF = \angle FEB$ con lo que $FEAC$ es un cuadrilatero ciclico. FIN.

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