jueves, 2 de septiembre de 2010

Problema del 1 de septiembre

Demostrar que si a^n+n divide a b^n+n para todo n entonces a=b.

6 comentarios:

Flavio dijo...

Ya lo habia hecho, creo que es el N6 de la lista corta de mexico, de todas formas pongo mi solucion

Flavio dijo...

tomamos sea q un primo que no divide a $a$, entonces si n=q-1, entonces a^(q-1)+(q-1) | b^(q-1)+(q-1), pero por teorema de fermat como (q,a)=1, entonces q | a^(q-1)-1, entonces q | a^(q-1)+(q-1), entonces q divide a b^(q-1)+q-1, entonces (b,q)=1 tambien. Ahora tomemos
n = (q-1)*(a+1)+1 entonces por teorema de Fermat $a^n \equiv a \pmod{q}$, entonces
$a^n+n \equiv a+(-1)*(a+1)+1 \equiv 0 \pmod{q}$
Luego q divide tambien a $b^n+n$, y luego como q no divide a a, y vimos que entonces q no divide a b, luego por fermat
$b^n \equiv b \pmod{q}$
y por la divisibilidad entonces
$0 \equiv b^n+n \equiv b-(a+1)+1 \equiv b-a \pmod{q}$ entonces q divide a b-a,pero existen una infinidad de primos q que no dividen a a, entonces hay una infinidad de numeros primos q que divide a b-a entonces b-a=0 y b=a. Bueno si a=0 no hay una infinidad de q's, (aunque creo que en el problema dice a y b positivos), pero si no de todas formas, nos queda que n | b^n+n para toda n, entonces n|b^n para toda n y entonces si tomamos n primo, entonces n|b, entonces hay una infinidad de primos que dividen a b y entonces b=0=a

IrvinG dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
IrvinG dijo...

Mmm, sólo llevo que si $p$ es primo entonces $po$ divide a $a$ sí y sólo si $p$ divide a $b.$

DANIELIMO dijo...

ya lo habia visto

Manuel Dosal dijo...

Yo tambien solo llevo que si un primo p divide a uno de a o b, entonces divide al otro

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